szukanie zaawansowane
 [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2004, o 19:20 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Północny Wschód
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba :
a) 2^(6n+1)+3^(2n+2) jest podzielna przez 11
b) 2^(n+2)*3^n+5n-4 jest podzielna przez 25
c) 3^(2^n) - 1 jest podzielna przez 2^(n+2)

Nie wiem jak to rozwiązać. Napiszę sposób jakim to robiliśmy w szkole, jeżeli tak to będzie zrobione to najlepiej to zrozumiem, a o to tu chodzi :

Udowodnij, że dla każdej naturalnej liczby n liczba 2*4^n -2 jest podzielna przez 6.

Dowód :
2*4^(k+1)-2=2*4^k*4-2=4(2*4^k-2)+6

Z góry dzięki za pomoc...
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2004, o 19:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 811
Lokalizacja: Sopot
Takie rzeczy rozwiązuje się przez indukcję, a to co mieliście na lekcji to nie wiem czy do tego jest podobne. Napiszę rozwiązanie do zadania pierwszego, reszta analogicznie

1) Sprawdzamy prawdziwość dla n=0
2+3^2=2+9=11
jedenaście jest podzielne przez 11, więc dla n=0 wyrażenie jest podzielne przez 11

2) Zakładamy prawdziwość dla k\small \inN
\Large 2^{6k+1}+3^{2k+2}=11a, gdzie a\small \inN

\Large 2^{6k+1}=11a-3^{2k+2}

3) Sprawdzamy prawdziwość dla k+1
\Large 2^{6(k+1)+1}+3^{2(k+1)+2}=2^{6k+1+6}+3^{2k+2+2}=\\=2^62^{6k+1}+3^23^{2k+2}=2^6\(11a-3^{2k+2}\)+9*3^{2k+2}=11a*2^6-64*3^{2k+2}+9*3^{2k+2}=\\=11a*2^6-64*3^{2k+2}+9*3^{2k+2}=11a*2^6-55*3^{2k+2}=11\(2^6a-5*3^{2k+2}\)

Stąd wynika że ta liczba jest podzielna przez 11.

Z powyższych rozważań wynika, że to wyrażenie jest podzielne dla każdego n\small \inN.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2004, o 19:52 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Północny Wschód
Ja wiem, że to jest indukcja. Te zadanko co napisałem rozwiązanie też jest zrobione za pomocą indukcji, tylko, że napisałem sam dowód.

[ Dodano: Czw Gru 16, 2004 6:56 pm ]
Skąd się wzięła ta 11 ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2004, o 19:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 811
Lokalizacja: Sopot
Jeśli ten dowód napisany przez Ciebie satysfakcjonuje Cię, to ok., ja w nim nic nie widzę, a tym bardziej tego że ta liczba jest podzielna przez 6 :roll:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2004, o 20:04 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Północny Wschód
Dobra, napiszą całą indukcję :
2*4^n-2 jest podzielne przez 6
1. n=1
2*4-2=6 - jest podzielne przez 6
2.
Założenie : n=k
2*4^(k+1)-2
Teza : n=k+1
2*4^(k+1)-2
Dowód :
2*4^(k+1)-2=2*4^k*4-2=4(2*4^k-2)+6

Z założenia 2*4^k-2 jest podzielne przez 6. Liczba podzielna przez 6 pomnożona o liczbę n dalej jest podzielna przez 6.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2004, o 20:09 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 811
Lokalizacja: Sopot
11 została wyciągnięta przed nawias z wyrażenia \large 11a \cdot 2^6+55 \cdot3^{2k+2}

I przykro mi bardzo ale dalej mnie ten dowód nie przekonuje a zwłaszcza dwie ostatnie linijki. Wiem jak powinna wyglądać indukcja i wiem jaką mają postać liczby podzielne przez 6. Więc chyba nie ma potrzeby przekonywania mnie że to jest dobrze, jeśli ja mam inne zdanie :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2004, o 20:32 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Północny Wschód
Jak możesz to zrób jeszcze b) i c)...

[ Dodano: Czw Gru 16, 2004 7:58 pm ]
Upsss.... pomyłka... Polecenie jest takie :
Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n liczba :
a) 2^(6n+1)+3^(2n+2) jest podzielna przez 11
b) 2^(n+2)*3^n+5n-4 jest podzielna przez 25
c) 3^(2^n) - 1 jest podzielna przez 2^(n+2)

P.S.
Sorki za pomyłkę... :oops:

[ Dodano: Czw Gru 16, 2004 8:16 pm ]
Ok... pierwszy przykład rozumiem, biorę się za resztę :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2004, o 22:01 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
b)
Indukcyjnie
Z:\large 2^{n+2}3^n+5n-4=25l_1 \large \. \Longleftrightar \. \large 2^2 2^n 3^n+5n-4=25l_1 \large \. \Longleftrightar \. \large 4\cdot 6^n +5n-4=25l_1
T:\large 4\cdot 6^{n+1} +5(n+1)-4=25l_2
D:\large 4\cdot 6^{n+1} +5(n+1)-4= \large 6\cdot 4\cdot 6^n+30n+6-25n-5= \large 6(4\cdot 6^n+5n-4+5)-25n-5= \large 6\cdot 25l_1-25n+25= \large 25(l_1-n+5)=25l_2

CND :]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2004, o 22:35 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1729
Lokalizacja: Koszalin
Heh.... no już temat się rozwinął... ale PODZIELNOŚĆ to chyba trochę INNY DZIAŁ
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2004, o 23:01 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Północny Wschód
Tutaj chodzi bardziej o indukcję, a poprzedni mój temat o indukcji został przeniesiony do tego działu, więc tym się zasugerowałem. Arek, przesuń temat gdzie uważasz, tylko powiadom mnie gdzie on się będzie znajdował, albo w tym dziale zostaw linka do niego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2004, o 16:13 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
c)
Z:\Large 3^2^n-1=2^{n+2}l_1
T:\Large 3^2^{n+1}-1=2^{n+3}l_2
D:\Large L=3^2^{n+1}-1= \Large 3^{2\cdot\Large (3^{2^n})^2-1= \Large (3^{2^n}-1)(3^{2^n}+1)= \Large 2^{n+2}l_1(3^{2^n}+1)= \Large 2^{n+3}l_2=P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2004, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Północny Wschód
Zlodiej mógłbyś zapisać przykład c) bez pomocy Latexu ?Druga potęga nie jest za bardzo czytelna...

[ Dodano: Sob Gru 18, 2004 6:59 pm ]
Skąd w przykładzie b) w dowodzie wzięło się to ?:
Dowód :

4*6^(n+1)+5(n+1)-4=6*4*6^n+30n+6-25n-5=6(4*6^n+5n-4+5)-25n-5

Mógłbyś to rozpisać ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2004, o 23:16 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
Przeciez nawet jak słabo widać można sie domyślić, że to n jest w drugiej potędze ...

Ehh no ja już prościej nie moge .. to jest mój max ... Przecież to widać że wszystko powstało w skutek kombinowania tzn dodania i odejmowania czegoś ...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 gru 2004, o 02:35 
Gość Specjalny

Posty: 800
Lokalizacja: W-U
mozna dodac operator \large lub nawet \Large, aby maksymalnie powiekszyc rownanie texa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 gru 2004, o 05:41 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Łódź
A moze ktos wytlumaczyc jak krok po kroku robi sie dowod? bo ja mam tez podobne zadanko o tresci "Stosujac zasade indukcji matematycznej, udowodnij, ze dla kazdej liczby naturalnej dodatniej n:

1/sqrt(2)*(sqrt(2)+1) + 1/(sqrt(2)+1)*(sqrt(2)+2) + ... + 1/(sqrt(2)+n-1)*(sqrt(2)+n) = n/(sqrt(2)*(sqrt(2)+n)

Udowodnilem ze jest prawdziwe dla n=1, nastepnie zalozylem ze zachodzi dla pewnego k, nastepnie wstawilem n=k+1, i nie wiem... dobrze to zrobilem? Teraz pasowaloby zrobic dowod... tylko wlasnie jak :twisted:

Dzieki :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja matematyczna - pytanie  ZIELONY  2
 Coś (chyba :P) z indukcja związane  jackass  4
 indukcja  Anonymous  1
 Podzielność przez 14 - indukcja  John Til  6
 Indukcja Matematyczna [Zadanie]  Caspy  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl