szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2012, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Płock
Witam!
Mam problem z poniższym zagadnieniem:
Dane są dwie liczby nieujemne: a i b, których suma jest stała. Kiedy suma ich pierwiastków będzie największa?
Intuicyjnie mogę stwierdzić, że ta suma będzie największa, kiedy a i b będą równe, ale nie wiem czy to prawda i jak tego dowieść.

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2012, o 20:13 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Oznaczmy \sqrt{a}+\sqrt{b}=\alpha i niech \varphi będzie funkcją określoną na zbiorze liczb nieujemmych, ciągłą i ściśle rosnącą. Wówczas wyrażenie \alpha ma największą wartość wtedy i tylko wtedy, gdy \varphi(\alpha) ma największą wartość.

Przyjmijmy \varphi(x)=x^2, wtedy \varphi(\alpha)=a+b+2\sqrt{ab} \le 2(a+b) i równość zachodzi gdy a=b.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 maja 2012, o 19:26 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Płock
Dzięki - rzeczywiście nie było to trudne :). A co, gdyby pójść krok dalej i treść zadania brzmiałaby następująco:
Dane są dwie liczby nieujemne: a i b, których suma jest większa od 2 i stała. Kiedy suma pierwiastków n-tego stopnia z nich będzie największa? n należy do zbioru liczb całkowitych dodatnich i n>1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 maja 2012, o 19:46 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Niech f(x)=\sqrt[n]{x} dla x \ge 0. Jest to funkcja wklęsła na przedziale [0, \infty ), zatem zachodzi
f \left( \frac{a+b}{2} \right) \ge \frac{f(a)+f(b)}{2} czyli \frac{2}{\sqrt[n]{2}} \sqrt[n]{a+b} \ge \sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}. Równość zachodzi dla a=b.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rekurencja... suma:  author  4
 Rekurencja: suma[2]  author  1
 Wykres funkcji - suma  Mateusz Kempa  4
 zbior liczb rzeczywistych, ale R^2  Atillo  2
 Suma kątów wew. wielokąta wypukł. jest funkcją liczby  christ15  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl