szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2012, o 14:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 755
Lokalizacja: PL
1. Rozwiąż :
a) \sqrt{x^{2}-4x+4} - \sqrt{x^{2}+10x+25}  \ge 2-x

b) \left|x-3 \right| +  \left|x+4 \right| < 9

2. Dane jest równanie z niewiadomą x. Przedyskutuj liczbę i rodzaj rozwiązań równania ze względu na wartości parametrów :
a) ax-a^{2}=2x-4
b) m(mx-2)=\sqrt{3}(\sqrt{3}x-2)
c) a^{2}x-2ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}x

4. Zbadaj w zależności od parametru m ilość rozwiązań układu równań :
a) \begin{2x+3y=4} 2x+3y=4 \\ 4x+my=2m \end{2x+3y=4}
b) \begin{mx=2y=2m+2} mx=2y=2m+2 \\ -2x+my=m \end{-2x+my=m}

5. Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu jest parą liczb :
\begin{x-y=k-1} x-y=k-1 \\ 2x-y=3-k \end{2x-y=3-k}
a) dodatnich
b) ujemnych
c) o przeciwnych znakach

6. Dla jakich p punkt przecięcia się prostych 2x-3y=5p i x+3y=5-p należy do IV-tej ćwiartki układu współrzędnych.

7. Wyznacz w prostokątnym układzie współrzędnych A \cap B oraz A-B jeśli :
A= {(x,y) , 2x-y \ge 3 }
B= {(x,y) , 3x+2y > 2 }

9. Narysuj :
a) \left|x \right| + \left|y \right|  \le 5
b) \left|x-y \right| > 2x-1


Bardzo bym prosił o rozwiązanie tych zadań. Zależy mi na czasie ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2012, o 14:49 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
Pokażę dla przykładu a), b) robi się analogicznie

\sqrt{(x-2)^2}-\sqrt{(x+5)^2}\ge2-x

|x-2|-|x+5|\ge2-x

\begin{cases} 2-x-(-x-5) \\ x\in(-\infty,-5) \end{cases}\quad\vee\quad\begin{cases} 2-x-(x+5) \\ x\in[-5,2) \end{cases}\quad\vee\quad\begin{cases} x-2-(x+5) \\ x\in[2,+\infty) \end{cases}

Takie nierówności i założenia wzięły się z ustalenia na jakich przedziałach wnętrza modułów są dodatnie, a na jakich ujemne. Można sobie przy tym pomóc, np. szkicując proste y=x-2, y=x+5 i sprawdzając, na jakich przedziałach są powyżej osi OX, a na jakich poniżej.

-- 13 maja 2012, 14:55 --

W 2 zrobię dla przykładu a)

mamy:
(a-2)x-a^2+4=0

Jeśli współczynnik przy x jest niezerowy, równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie:
a-2\neq0\quad\Leftrightarrow\quad a\neq2

Sprawdźmy, co z parametrem a=2. Po wstawieniu do równania dostajemy

0\cdot x-4+4=0\quad\Leftrightarrow\quad0=0

Jest to równanie tożsamościowe (spełnione dla każdego x\in\mathbb R), więc dla a=2 równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

-- 13 maja 2012, 15:07 --

Zadanie 4 najwygodniej zrobić przy pomocy wzorów Cramera (wyznaczniki):

a)
W=\left|\begin{array}{cc}2&3\\4&m\end{array}\right|=2m-4\cdot3=2(m-6)

Jeśli W\neq0, układ jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie)

2(m-6)\neq0\quad\Leftrightarrow\quad m\neq6


W_x=\left|\begin{array}{cc}4&3\\2m&m\end{array}\right|=4m-6m=-2m

W_y=\left|\begin{array}{cc}2&4\\4&2m\end{array}\right|=4m-16=4(m-4)

Jeśli W=W_x=W_y=0 - układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań)
Jeśli W=0 i którykolwiek z pozostałych wyznaczników jest niezerowy, układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).

W=0\quad\Leftrightarrow\quad m=6.
Wówczas W_x=-12, W_y=8, więc dla m=6 układ jest sprzeczny.

-- 13 maja 2012, 15:17 --

W 5 proszę o napisanie polecenia po polsku, jeśli mam pomóc.

6. Punkt przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu

\begin{cases} 2x-3y=5p \\ x+3y=5-p \end{cases}

Musimy tak dobrać parametr p, żeby punkt (x,y) będący rozwiązaniem, należał do IV ćwiartki, co oznacza, że x>0>y.

Najpierw musimy zastrzec, że W\neq0, żeby układ miał dokładnie jedno rozwiązanie (w przypadku, gdy miałby ich nieskończenie wiele, proste by się pokrywały i punkty przecięcia nie leżałyby jedynie w jednej ćwiartce).

W=\left|\begin{array}{cc}2&-3\\1&3\end{array}\right|=9\neq0

Ok, dla każdego parametru p układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Teraz musimy wyznaczyć x,y. Idąc drogą wyznaczników mamy:
\begin{cases} x=\frac{W_x}W \\ y=\frac{W_y}W \end{cases}

Pozostaje założyć, że x>0, y<0 i rozwiązać odpowiednie nierówności z niewiadomą p.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2012, o 15:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 755
Lokalizacja: PL
Poprawiłem 5 zadanie... parą liczb brakowało. Proszę Cię o rozwiązanie go :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2012, o 15:32 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
8. 2x-y\ge3\quad\Leftrightarrow\quad y\le2x-3

Zbiór A=\left\{ (x,y):\ y\le2x-3\right\} to półpłaszczyzna domknięta pod prostą y=2x-3. Ze zbiorem B rzecz ma się bardzo podobnie.

9. Zbiór z a) to kwadrat o środku w (0,0). którego odpowiednie boki są pod kątem 45 stopni do osi układu. Lecz żeby do tego dojść należy potraktować go jako sumę zbiorów
A=\left\{ (x,y):\ x+y\le5,\ x,y\ge0\right\}
B=\left\{ (x,y):\ x-y\le5,\ x\ge0>y\right\}
C=\left\{ (x,y):\ -x+y\le5,\ y\ge0>x\right\}
D=\left\{ (x,y):\ -x-y\le5,\ x,y<0\right\}

w b) możemy wziąć sumę zbiorów
E=\left\{ (x,y):\ x-y>2x-1,\ x-y\ge0\right\}
F=\left\{ (x,y):\ y-x>2x-1,\ x-y<0\right\}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2012, o 15:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 755
Lokalizacja: PL
Prosiłbym jeszcze o rozwiązanie :
3. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ :

a) \begin{cases} 2(x+3)-3(x+y)=8 \\ 5x-3y=1 \end{cases}

b) \begin{cases} \frac{x+2y}{3} - \frac{2x+y}{3} = -3 \\ \frac{3x-2y}{4} - \frac{3x+2y}{4} \end{cases} = \frac{3}{4}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2012, o 16:36 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
A na czym polega problem w rozwiązaniu tych układów równań?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2012, o 16:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 755
Lokalizacja: PL
W B mam problem ... :/

Bo robię metodą wyznaczników bo mi najłatwiej ale nie umiem tego rozwiązać wgl :/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2012, o 16:55 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
Co do zadania 5, to wzorzec rozwiązania takiego układu z parametrem masz w zadaniu 6. Potem kładziesz po prostu warunek
a) x,y>0
b) x,y<0
c) x>0,\ y<0 lub x<0,\ y>0

Czasem wygodniej jest zapisać takie warunki trochę inaczej. Dodatniość pary liczb jest równoważna temu, że ich iloczyn i suma są dodatnie, ujemność - dodatniemu iloczynowi i ujemnej sumie, a to, że są różnych znaków oznacza, że ich iloczyn jest ujemy.
Można więc w a), b), c) zapisać następujące warunki:
a) xy>0,\ x+y>0
b) xy>0,\ x+y<0
c) xy<0

-- 13 maja 2012, 16:56 --

Co do zadania 5, to wzorzec rozwiązania takiego układu z parametrem masz w zadaniu 6. Potem kładziesz po prostu warunek
a) x,y>0
b) x,y<0
c) x>0,\ y<0 lub x<0,\ y>0

Czasem wygodniej jest zapisać takie warunki trochę inaczej. Dodatniość pary liczb jest równoważna temu, że ich iloczyn i suma są dodatnie, ujemność - dodatniemu iloczynowi i ujemnej sumie, a to, że są różnych znaków oznacza, że ich iloczyn jest ujemy.
Można więc w a), b), c) zapisać następujące warunki:
a) xy>0,\ x+y>0
b) xy>0,\ x+y<0
c) xy<0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2012, o 17:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 755
Lokalizacja: PL
A jak rozkminić to 3b ? Drugi układ równań ... ;x
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2012, o 19:40 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
Przemnóż pierwsze równanie przez 3, drugie przez 4, będziesz miał układ ze współczynnikami całkowitymi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2012, o 20:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 755
Lokalizacja: PL
\begin{cases} \frac{x+2y}{3} - \frac{2x+y}{3} = -3 \\ \frac{3x-2y}{4} - \frac{3x+2y}{4} \end{cases} = \frac{3}{4}

2x+6-3x-3y=8


\begin{cases} -x-3y=2 \\ 5x-3y=1 \end{cases}


W=\left|\begin{array}{cc}-1&-3\\5&-3\end{array}\right|= 3+15=18
W_x=\left|\begin{array}{cc}2&-3\\1&-3\end{array}\right|= -6+3=-3
W_y=\left|\begin{array}{cc}-1&2\\5&1\end{array}\right|= -1-10=-11

\begin{cases} x=\frac{W_x}W \\ y=\frac{W_y}W \end{cases}

x= - \frac{1}{6}

y= - \frac{11}{18}

-- 13 maja 2012, o 20:07 --

\begin{cases} \frac{x+2y}{3} - \frac{2x+y}{3} = -3 \\ \frac{3x-2y}{4} - \frac{3x+2y}{4} \end{cases} = \frac{3}{4}

1. x+2-2x-y=-3

-x+y=-9

2. 3x-2y-3x-2y=3

-4y=3

\begin{cases} -x+y=-9 \\ -4y=3 \end{cases}

y= - \frac{3}{4}

-x - \frac{3}{4} = -9

-x = -8 \frac{1}{4}

\begin{cases} x = 8 \frac{1}{4} \\ y= - \frac{3}{4} \end{cases}

Dobrze to jest ? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2012, o 21:35 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
Pierwszy układ wygląda ok. W drugim jest błąd, bo w pierwszym równaniu przemnożyłeś tylko lewą stronę przez 3, a powinieneś obie. Poza tym sam możesz łatwo sprawdzić, czy dobrze rozwiązałeś układ równań. Wstaw swoje rozwiązania do równań wyjściowych i sprawdź, czy wychodzi prawda.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2012, o 02:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 755
Lokalizacja: PL
Wychodzi prawda, tylko sb źle tam napisałem ale dobrze zrobiłem :)
Tam ma być x+2-2x-y=-9

-- 15 maja 2012, o 15:37 --

A mogę prosić o pomoc w rozwiązaniu :

a^{2}x-2ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}x

Polecenie : Dane jest równanie z niewiadomą x. Przedyskutuj liczbę i rodzaj rozwiązań równania ze względu na wartości parametrów.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wartość bezwzględna  Anonymous  6
 Wartość bezwzględna - zadanie 2  mateo19851  2
 (4 zadania) Równania. Nierówności. Wykresy funkcji  comix  1
 [Wartosc bezwzgledna] Problem z nierownoscia  Anonymous  2
 Wykres funkcji z wartością bezwzględną.  mateo19851  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl