szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2012, o 11:16 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Zamość
Proszę o pomoc w tym zadaniu...

Udowodnić że dla każdej liczby naturalnej n:

liczba 4 ^{n} +5 jest podzielna przez 3

Robie coś takiego (tak mnie kiedyś uczono)

P(1)= 4 ^{1}+5=9\\
n=k
4 ^{k}+5=3z (bo podzielne przez 3 jak rozumiem)
n=k+1\\
4 ^{k+1}+5
no i w tym momencie już dalej nie wiem jak to pociągnąć, znalazłem w swoich notatkach bardzo podobne zadania ale nic nie łapie...
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2012, o 11:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2388
Lokalizacja: Katowice
Musi być koniecznie z indukcji? Można znacznie prościej, korzystając z tego, iż:

4 \equiv 1 \pmod 3 \\ 
4^n \equiv 1^n \pmod 3\\
4^n \equiv 1-2\cdot 3 \pmod 3 \\
4^n \equiv -5 \pmod 3

co jest równoważne z tym, że 4^n+5 dzieli się przez 3. Jeżeli nie pamiętasz kongruencji, mogę przepisać powyższe rozumowanie, nie korzystając z tego zapisu; wychodząc z:

4^n-1=\underbrace{(4-1)}_{3}(4^{n-1}+4^{n-2}+\ldots+4+1)

A jeżeli indukcją, to zajmę się tym, jak wrócę do domu ;).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2012, o 11:53 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Zamość
niestety... indukcja być musi :( Dziękuje kolego za zainteresowanie się tematem. Czekam w takim razie na pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2012, o 12:18 
Użytkownik

Posty: 74
Lokalizacja: Warszawa
4^{k+1} +5= 4^{k} \cdot 4+5=( 4^{k}+5 ) \cdot 4-15
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2012, o 12:20 
Administrator

Posty: 22603
Lokalizacja: Wrocław
JakimPL, nie wiem, czy zdajesz sobie sprawę z tego, że oba zaprezentowane przez Ciebie rozwiązania też korzystają z indukcji, tylko w niejawny sposób...

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2012, o 12:40 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Zamość
mativ73 napisał(a):
4^{k+1} +5= 4^{k} \cdot 4+5=( 4^{k}+5 ) \cdot 4-15


i to już koniec? czy jeszcze trzeba przemnożyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2012, o 13:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2388
Lokalizacja: Katowice
zik napisał(a):
i to już koniec? czy jeszcze trzeba przemnożyć?


Jeżeli założymy, że 4^n+5 dzieli się bez reszty przez 3 (oznaczmy 4^n+5=3m), to wynika z tego fakt, iż 4^{n+1}+5 również się dzieli, bo z powyższego mamy:

4^{n+1}+5=( 4^{n}+5 ) \cdot 4-15=4(3m)-3\cdot 5=3(4m-5)

A skoro zachodzi ten fakt dla liczby n=1, to zachodzi także dla wszystkich kolejnych liczb naturalnych.

Cytuj:
JakimPL, nie wiem, czy zdajesz sobie sprawę z tego, że oba zaprezentowane przez Ciebie rozwiązania też korzystają z indukcji, tylko w niejawny sposób...


Skrót myślowy: indukcja - postępowanie przy dowodzie indukcyjnym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2012, o 14:36 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Zamość
Dzięki za pomoc już mi się rozjaśniło w głowie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnić że dla każdej liczby naturalnej n - zadanie 2  Piotrox  3
 Indukcja matematyczna - podzielność liczby  Effi  3
 Nierównosci - udowodnic indukcyjnie.  gosiunia1234  2
 jak udowodnić tą nierówność  domel666  17
 Udowodnic nierownosc za pomoca indukcji matematycznej.  gaga  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl