szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2012, o 18:12 
Gość Specjalny

Posty: 8603
Lokalizacja: Kraków
Pochodna funkcji górnej lub dolnej granicy całkowania


W najogólniejszym przypadku zwana też regułą Leibniza [1].
Za punkt wyjścia niech posłuży nam podstawowy wzór rachunku całkowego, zwany też wzorem Newtona-Leibniza.
Niech f będzie ciągła w przedziale [a,b] oraz niech F będzie dowolną funkcją pierwotną f na zadanym przedziale, wtedy: [2]

\int_a^b f(x) \, \mbox d x = F(b) - F(a)


Mając daną ciągłą (na [a,b]) funkcję rzeczywistą f, zdefiniujmy następującą funkcję

I \colon [a,b] \ni x \mapsto \int_a^x f(t) \, \mbox d t \in \mathbb{R}


W celu obliczenia pochodnej I' \equiv \tfrac{d I}{dx}, korzystamy z podstawowego wzoru rachunku całkowego w następujący sposób:

$\begin{align*}
\frac{\mbox d I}{\mbox d x}  &= \frac{\mbox d }{\mbox d x} \left( \int_a^x f(t) \, \mbox d t \right) \\
    &= \frac{\mbox d }{\mbox d x} \left( F(x) - F(b) \right) \\
    &= f(x)
\end{align*}$


W bardziej ogólnym przypadku, funkcja I może zależeć od górnej i dolnej granicy całkowania poprzez funkcje g i h. Zakładając, że są one (g i h) różniczkowalne:

$\begin{align*}
\frac{\mbox d I}{\mbox d x}  &= \frac{\mbox d }{\mbox d x} \left( \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \, \mbox d t \right) \\
    &= \frac{\mbox d }{\mbox d x} \left( F \bigl( h(x) \bigr) - F \bigl( g(x) \bigr) \right) \\
    &= f \bigl( h(x) \bigr) \cdot h'(x) - f \bigl( g(x) \bigr) \cdot g'(x)
\end{align*}$


W najogólniejszym przypadku funkcja f \equiv f(t, x) zależy od zmiennej t i parametru x. Zakładamy, że jest ona określona na prostokącie [c, d] \times [a, b], ciągła względem t w przedziale [c,d] przy dowolnym ustalonym x z przedziału [a, b]. Dodatkowo istnieje pochodna cząstkowa \tfrac{ \partial f}{ \partial x}, ciągła jako funkcja dwóch zmiennych.
Wówczas prawdziwy jest wzór:

\frac{\mbox d}{\mbox d x} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t, x) \, \mbox d t = \int_{g(x)}^{h(x)} \frac{\partial f}{\partial x}  \, \mbox d t + f \left( h(x), x \right) \frac{\mbox d h}{\mbox d x} -  f \left( g(x), x \right) \frac{\mbox d g}{\mbox d x}


Dowód:
Oznaczmy przez I(x) całkę po lewej w powyższej równości, z której obliczana jest pochodna. Zapiszmy iloraz różnicowy:

$ \begin{align*} \frac{I ( x + z) - I(x)}{z} & = \frac{1}{z} \left[ \int_{g(x+z)}^{h(x+z)} f(t, x+z) \, \mbox d t - \int_{g(x)}^{h(x)} f(t, x) \, \mbox d t \right] \\
& = \frac{1}{z} \left[  \int_{g(x+z)}^{h(x+z)} f(t, x+z) \, \mbox d t - \int_{g(x+z)}^{h(x+z)} f(t, x) \, \mbox d t \right. \\
& \phantom{= \frac{1}{z}}  + \int_{g(x+z)}^{h(x+z)} f(t, x) \, \mbox d t - \int_{g(x)}^{h(x+z)} f(t, x) \, \mbox d t \\
& \phantom{= \frac{1}{z}}  + \left. \int_{g(x)}^{h(x+z)} f(t, x) \, \mbox d t - \int_{g(x)}^{h(x)} f(t, x) \, \mbox d t  \right] \\
& = \int_{g(x+z)}^{h(x+z)} \frac{f(t, x+z) - f(t, x)}{z} \, \mbox d t + \frac{1}{z} \int_{g(x+z)}^{g(x)} f(t, x) \, \mbox d t+ \frac{1}{z} \int_{h(x)}^{h(x+z)} f(t, x) \, \mbox d t
\end{align*}$


Korzystając z twierdzenia o wartości średniej możemy zapisać:

$\begin{align*} \frac{1}{z} \int_{h(x)}^{h(x+z)} f(t, x) \, \mbox d t &= \frac{h(x+z) - h(x)}{z} f ( c, x )\\
\frac{1}{z} \int_{g(x+z)}^{g(x)} f(t, x) \, \mbox d t & = - \frac{g(x+z) - g(x)}{z} f(d, x) \end{align*}$

gdzie c i d są wartościami pomiędzy (odpowiednio) h(x) a h(x+z) i g(x) a g(x+z).

Przejście graniczne z \to 0 kończy dowód.


Przykłady
1. Oblicz pochodną funkcji
f(x) = \int_1^{3x^2 + 1} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \, \mbox  d t

Rozwiązanie:
f'(x) = \frac{\sin (3x^2 + 1)}{\sqrt{3x^2 + 1}} \cdot (3x^2 + 1)' = \frac{6x \cdot \sin (3x^2 + 1)}{\sqrt{3x^2 + 1}}


2. Korzystając z reguły de l'Hôpitala, oblicz granicę
\lim_{t \to 0} \frac{ \int_0^{2t} e^{-2x^2} \, \mbox d x }{1 - e^{-t}}

Rozwiązanie:
Mamy tu do czynienia z symbolem nieoznaczonym \left[ \tfrac{0}{0} \right]. Obliczamy pochodne:

$\begin{align*}
\frac{\mbox d}{\mbox d t} \left(\int_0^{2t} e^{-2x^2} \, \mbox d x \right)  & = e^{-2 \cdot (2t)^2} \cdot 2 = 2 e^{-8t^2} \\
\frac{\mbox d}{\mbox d t} \left( 1 - e^{-t} \right)  & = e^{-t}
\end{align*}$

Obie pochodne są skończone w zerze, zatem możemy zapisać:

\lim_{t \to 0} \frac{ \int_0^{2t} e^{-2x^2} \, \mbox d x }{1 - e^{-t}} \stackrel{\mbox H}{=} \lim_{t \to 0} \frac{ 2 e^{-8t^2} }{e^{-t}} = \frac{2}{1} =2



Wszelkie komentarze odnośnie tego postu proszę kierować na Obrazek


Źródła:
1. Eric W. Weisstein. "Leibniz Integral Rule." http://mathworld.wolfram.com/LeibnizIntegralRule.html
2. G.M. Fichtenholz. "Rachunek różniczkowy i całkowy", tom 2.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyprowadzenia pochodnych ważniejszych funkcji  jasny  3
 Pochodna superpozycji funkcji (funkcji złożonej) w punkcie  bolo  0
 Całkowanie funkcji wymiernych metodą Ostrogradskiego  luka52  0
 Przejście do granicy pod znakiem całki  luka52  0
 asymptoty wykresu funkcji - zadanie 3  lukasz1804  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl