szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2012, o 13:53 
Użytkownik

Posty: 116
Lokalizacja: PW
Wykaż że 10^{12}-100 jest podzielna przez 41.

Proszę o sprawdzenie.

10^{12}-100=10 ^{2}(10 ^{10}-1)
Widzimy że 100 nie jest podzielne przez 41 zatem sprawdzamy drugi czynnik.

99999=41 \cdot 2439

10 ^{5}\equiv1\pmod{41}
Po podniesieniu do kwadratu o przeniesieniu na drugą stronę:
10 ^{10}-1\equiv0\pmod{41}

2 pytanie: czy kongruencje można dowolnie pierwiastkować?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2012, o 15:17 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Dowód ok.

Cytuj:
czy kongruencje można dowolnie pierwiastkować?
Nie można. Kontrprzykład: 100 \equiv 1 \pmod {99}  \Rightarrow 10 \equiv 1 \pmod {99} co jest sprzeczne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2012, o 17:12 
Użytkownik

Posty: 116
Lokalizacja: PW
A gdy mamy:
a^{2}\equiv b^{2}\pmod{c} to zachodzi też
a\equiv b\pmod{c}
jeśli a>c?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2012, o 18:04 
Użytkownik

Posty: 5484
Lokalizacja: Kraków
nie bo, np. c=5 i a=7 \ b=3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2012, o 18:23 
Użytkownik

Posty: 116
Lokalizacja: PW
Aha, ok. To dość dziwne że kongruencje można dowolnie podnosić do potęgi a nie wolno pierwiastkować.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2012, o 18:32 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Dziwne? Nie.

Z pierwszej kongruencji mamy a^2=ck+b^2 dla k \in C, chcemy sprawdzić czy c|a-b. Zatem przekształcamy do \frac{(a-b)(a+b)}{c}=k, stąd c|a-b lub c|a+b, co możemy zapisać jako: a^{2}\equiv b^{2}\pmod{c}  \ \Rightarrow \ \left(a\equiv b\pmod{c} \ \  \vee \ \ a\equiv -b\pmod{c} \right).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2012, o 18:48 
Użytkownik

Posty: 111
Lokalizacja: Podlaskie
10^{12}-100=(10^6-10)(10^6+10)=999990\cdot 1000010=41\cdot 24390\cdot 1000010
co kończy dowód
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2012, o 19:04 
Użytkownik

Posty: 116
Lokalizacja: PW
kamil13151, O.k., dzięki. :-)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 liczba podzielna przez 7  alternatywa  1
 Liczba nie podzielna przez 121  Vastator  5
 Podzielność liczby przez 8...  infeq  9
 Podzielność wielomianu - zadanie 14  DDevil  6
 podzielność przez każda liczbę naturalną dodatnią  janko2  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl