szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2012, o 23:07 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
Witam, mam problem z następującym zadaniem

Na ile sposobów mozna kupic 20 litrów soku jesli w sklepie jest sok pomaranczowy oraz
grejpfrutowy w opakowaniach po 1l i 2l oraz 5 opakowan 2 litrowych soku jabłkowego.

Wydaje się proste, ale mam kilka pytań.

20 litrów:
Czyli w myśl schematu:
1l pomaranczoego = 1+x+x^2+x^3...+x^{20}
1l grej = 1+x+x^2+x^3...+x^{20}
2l pom i grej analogicznie = (1 + x^2 + x^4 + ... x^{20})^2 - juz zapisałem razem[/tex]

Teraz 5 opakowac soku jabłkowego po 2l

1 + x^2 + .... + x^{10}

i jak teraz zrobić funkcje tworzące?

Czy to będzie z geomerytcznego wszystkie?
F(x)=\frac{1}{(1-x)^2} \frac{1}{(1-x^2)^2}  \frac{1}{(1-x^2)}
I jak wpływa na zadanie to, że tego jabłkowego jest tylko 5 opakowan?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2012, o 05:38 
Użytkownik

Posty: 132
Lokalizacja: Polska
\sum_{j=0}^{5}x^{2j} jabłkowego nie sumujesz w nieskończoność, nie możesz napisać \frac{1}{1-x^2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2012, o 11:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 488
Rozumiem fakt niesumowania w nieskończonośc jabłkowego. Jak dojść do ostatecznego wyniku? Mam te w nieskończone ciągi i jeden skończony i co z nimi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2012, o 01:02 
Użytkownik

Posty: 26
Funkcja tworząca jest taka: \left( 1 + x^2 + .... + x^{10}\right)  \cdot \frac{1}{\left( 1-x\right) ^{2}  }
Musisz wymnożyc i sprawdzić co stoi przy x^{20}. Wygląda na dużo liczenia, ale na \frac{1}{\left( 1-x\right) ^{2}  } jest wzór, więc idzie dosyć szybko.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2016, o 18:30 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Elblag/Warszawa
Witam, mam analogiczne zadanie:
Na ile sposobów można kupić 50 litrów soku, jeśli są dostępne opakowania 1 litrowe, 2 litrowe
oraz 4 litrowe.

1litrowe opakowania: A(x) =  1+x+x^2+...+x^{50} =  \sum_{i=0}^{50}x^{i}

2litrowe opakowania: B(x) =  1+x^2+x^4...+x^{50} =  \sum_{j=0}^{25}x^{2j}

4litrowe opakowania: C(x) =  1+x^4+x^8 +...+x^{48} =  \sum_{k=0}^{12}x^{4k}

Teraz wystarczy to wymnożyć i odczytać współczynnik przy x^{50}.

Jednak tak jak w było już wspomniane nie mogę zapisać tego geometrycznie (bo nie sumuje przecież do nieskończoności), a wymnażanie tego z rozwiniętego wzoru jest za bardzo czasochłonne i chyba nie o to chodzi w zadaniu. Czy ktoś mógłby mi dać wskazówkę jak to ruszyć, ewentualnie rozpisać krok początkowy?

-- 4 cze 2016, o 22:21 --

W sumie uznałem, że można to zrobić bardziej ogólniej, zakładając, że mam nieograniczoną ilość opakowań, a potem sprawdzić współczynnik przy x^{50}.

Wtedy ten iloczyn to:

\left( \frac{1}{1-x}\right)  \left( \frac{1}{1-x^2}\right)  \left( \frac{1}{1-x^4}\right) = \left( \frac{1}{1-x}\right)  \left( \frac{1}{1-x^2}\right)  \left( \frac{1}{1-x^4}\right) *   \frac{\left( 1+x\right) \left( 1+x\right)^{2}  }{\left( 1+x\right) \left( 1+x\right)^{2}  }
Co po wymnożeniu daje:
\frac{\left( 1+x\right) \left( 1+x\right)^{2} }{\left( 1-x^4\right)^3 } = (1+x)(1+2x^2+x^4) \sum_{n=0}^{ \infty }  {n+2 \choose n}x^{4n}
= (1+x+2x^2+2x^3+x^4+x^5) \sum_{n=0}^{ \infty }  {n+2 \choose n}x^{4n}

Z pierwszego nawiasu przed sumą można uzyskać od 1 do x^5:
wybierając n = 11 dostajemy x^{44} do x^{49}
wybierając n = 12 dostajemy x^{48} do x^{53}
wybierając n = 13 dostajemy x^{52} do x^{57}

więc jedynie dla n = 12 dostaniemy jakiś współczynnik przy x^{50}, i dla n = 12, z dwumiany otrzymujemy 13 * 14 / 2 razy jeszcze 2 którą otrzymamy z nawiasu przed sumą, więc odpowiedź to 13 * 14 = 182.

Czy to jest poprawny sposób?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ile sposobow - wybor trzech liczb, aby suma byla parzysta  Anonymous  2
 "na ile sposobów mozna ustawić ciąg..."  ktosia  6
 Ile sposobow - rozmieszczenia kul w komorkach  Anonymous  4
 Na ile sposobów... (suma 3 liczb rowna 11)  Anonymous  3
 losowanie cyfr - ile liczb mozna utworzyc?  Banan  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl