szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2012, o 14:37 
Użytkownik

Posty: 106
Dwa boki trójkąta o polu 3 mają długości 2 i 5. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, promień okręgu wpisanego oraz długość trzeciego boku.

Proszę o wskazówki jak mam to wyliczyć, albo rozwiązanie, bo od dwóch dni się z tym męczę i nic mi nie wychodzi. :/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2012, o 14:43 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17971
Lokalizacja: Cieszyn
Znając pole, mamy wysokość poprowadzoną z tego trzeciego boku. W połączeniu z twierdzeniem Pitagorasa pozwoli to nam wyliczyć trzeci bok. Zrób rysunek rozważając przypadki trójkąta prostokątnego lub rozwartokątnego. Gdybym mógł mówić na bardziej zaawansowanym poziomie, to znając pole i dwa boki, od razu wiemy czy trójkąt jest ostrokątny czy rozwartokątny. Zważywszy jednak Twój wiek, o funkcjach cyklometrycznych chyba nie słyszałeś.

OK. Funkcji cyklometrycznych nie trzeba. Znamy wzór na pole trójkąta: P=\frac{1}{2}ab\sin\alpha, gdzie ab to boki, a \alpha to kąt między nimi. Porónując to z polem trójkąta mamy \sin\alpha=\frac{3}{5}, co oznacza, że ... No właśnie, zapędziłem się nieco. Sinus jest dodatni dla kątów ostrych i rozwartych i nic nie stwierdzimy. Nie chcę iść dalej, żeby Cię nie zniechęcać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2012, o 14:47 
Użytkownik

Posty: 106
No nie słyszałem :] Ja też tak myślałem, jednak moje wyniki całkiem odbiegają od odpowiedzi. Znając wysokość policzyłem ten bok, ale co dalej? Nie mam pojęcia jak te promienie znaleźć...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2012, o 14:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17971
Lokalizacja: Cieszyn
Koła opisanego z twierdzenia cosinusów. Mając sinus kąta, da się policzyć cosinus.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2012, o 15:00 
Użytkownik

Posty: 106
A czy mógłbyś policzyć mi ten jeden bok? Bo jak pisałem wychodzi mi coś dziwnego i nie wiem czy gdzieś robię błąd, bo dalej nic się nie zgadza. A z twierdzenia cosinusów i sinusów nie wiem jak to wyliczyć. Po prostu nie widzę tego na rysunku :/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2012, o 15:04 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17971
Lokalizacja: Cieszyn
Rozrysuj to zaznaczając wysokość. Liczysz ją znając pole. Masz więc dwa trójkąty prostokątne. Możesz części trzeciego boku wyznaczyć z tw. Pitagorasa. A w ogóle, to wyjdą dwa rozwiązania, gdyż trójkąt o danych bokach może mieć pole 3 zarówno, gdy jest ostrokątny, jak i rozwartokątny. Sinus równy \frac{3}{5} mają bowiem dwa kąty: jeden ostry, a drugi rozwarty. A zatem obowiązkowo musisz rozważyć te dwa przypadki.

Kawa na mnie czeka :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2012, o 15:18 
Użytkownik

Posty: 106
Masz rację, bo w odpowiedziach jest albo, albo :]

Jeżeli dobrze rozumiem to Ty za podstawę przyjąłeś 2 i wtedy wysokość wyjdzie 3. Nie rozumiem dlaczego wyjdzie część trzeciego boku a nie tej podstawy. Według mojego rysunku właśnie wyjdzie część tej podstawy, ale jest taki problem, ze wtedy będzie to 4 a podstawa ma 2 więc tamta część jest na minusie? :] Tego nie mogę zrozumieć...

Wówczas wziąłem inne oznaczenie, ze podstawa ma 5, ale wtedy męczę się na ułamkach i pierwiastkach i możliwe, że gdzieś jakiś błąd popełniam, ale już tyle razy to liczyłem i tak nic nie wychodzi.

-- 10 cze 2012, o 16:53 --

Już wszystko wiem :]

Dzięki...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2012, o 15:53 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17971
Lokalizacja: Cieszyn
Trzeci bok najprościej jednak wyznaczyć w oparciu o twierdzenie cosinusów. Ze wzoru na pole wnieśliśmy, że \sin\alpha=\frac{3}{5}, skąd, wobec jedynki trygonometrycznej, mamy \cos\alpha=\frac{4}{5} (trójkąt ostrokątny) lub \cos\alpha=-\frac{4}{5} (trójkąt rozwartokątny). A więc

c^2=2^2+5^2-2\cdot 2\cdot 5\cos\alpha=29-20\cdot\cos\alpha=29\pm 20\cdot\frac{4}{5}=29\pm 16

Więc c^2=13 lub c^2=45. Więc c=\sqrt{13} dla trójkąta ostrokątnego bądź c=\sqrt{45}=3\sqrt{5} dla trójkąta rozwartokątnego.

Mając \sin\alpha i bok naprzeciw kąta \alpha, możemy skorzystać z twierdzenia sinusów (poprzednio się pomyliłem mówiąc o tw. cosinusów) wyznaczając promień okręgu opisanego. Promień wpisanego? Jest wiele wzorów na pole trójkąta, jeden z nich angażuje promień okręgu wpisanego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2013, o 00:26 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Polska
Długość trzeciego boku:
pole trójkąta = \frac{1}{2}a \times b \timessin kąta między nimi
jak pole = 3 to sin tego kąta musi być równy 0.6
jeśli sin ^{2}+cosin ^{2}=1to cosinus = 0,8
teraz z twierdzenia cosinusów ostatni bok równa się w skrócie \sqrt{13}
cosinus moze tez być równy -0,8 i wtedy wyjdzie \sqrt{45}
Wynik taki sam jak u szw1710 ale według mnie prostrze obliczenia (pierwsza część) bo druga jest taka sama.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 problem przy wyliczeniu boków trójkąta  robokop_78  1
 Środek ciężkości i pytanie (problem)  Fiant  4
 Trójkąty podobne i okrąg-problem praktyczny prosto z budowy  TWW  1
 problem z ćwiczeniem  mojo  6
 Twierdzenie Talesa 3 przykłady problem z dwoma  Bahamut452  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl