szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 cze 2012, o 15:58 
Użytkownik

Posty: 126
Lokalizacja: Kraków
Witajcie!

Mam problem z udowodnieniem dwóch nierówności.

1/

h_A + h_B + h_C \ge 9r

Gdzie h_X to wysokość opuszczona z wierzchołka X, a r to promień okręgu wpisanego.

Obrazek

Dochodzę do momentu, w którym mam:

h_A + h_B + h_C \le (AG + BG + CG) + 3r \\
AG + BG + CG \ge 6r

Zastanawiam się, co dalej...

2/

a^2 + b^2 + c^2 \le 9R

Gdzie R - promień okręgu opisanego.
Tego nie mam pomysłu, jak ruszyć.

Z góry dzięki za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 cze 2012, o 18:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
1) Zauważ, że h_a = \frac{2P}{a} = \frac{(a+b+c)r}{a}, więc:

h_a+h_b+h_c \ge 9r \iff (a+b+c)r(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \ge 9r \iff \frac{a+b+c}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}

Co jest prawdą na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną.

2) Ta nierówność nie zachodzi np dla a=b=c=2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 cze 2012, o 20:05 
Użytkownik

Posty: 126
Lokalizacja: Kraków
Dzięki. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (2 zadania) Oblicz stosunek dł. cięciw. Oblicz pole trój  Anonymous  11
 (3 zadania) Obliczyć wysokości trójkąta, długość bok  mariusz18  2
 (3 zadania) Oblicz długość wysokości trójkąta. itd.  Anonymous  1
 (3 zadania) Oblicz pola trójkątów. Wykaż, że ...  Anonymous  1
 Wykaż, że następująca nierówność w trójkącie jest  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl