szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2012, o 22:28 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6392
Lokalizacja: Warszawa
Jest wiele znanych nierozwiązanych problemów matematycznych, z których kilka mimo bardzo prostego sformułowania nie została do dziś udowodniona. W tym temacie chciałbym zebrać co ciekawsze z nich, zarówno te znane, jak i mniej popularne. Wszelkie uwagi oraz uzupełnienia proszę przesyłać na pw.

1. Wpisany kwadrat
Czy na każdej zamkniętej krzywej można znaleźć wierzchołki pewnego kwadratu?

\begin{pspicture}(0,-3.236084)(10.409567,3.236084)
\psframe[linewidth=0.04,dimen=outer](7.390144,1.7884134)(2.7301438,-2.8715866)
\psbezier[linewidth=0.06,linecolor=red,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](2.7301438,1.7884134)(3.6536248,2.172058)(4.779666,3.206084)(5.770144,3.0684135)(6.760622,2.9307427)(6.4842663,2.2523324)(7.370144,1.7884134)(8.2560215,1.3244945)(9.720721,1.9325961)(10.050144,0.9884134)(10.379566,0.044230662)(8.305201,-3.206084)(7.370144,-2.8515866)(6.4350867,-2.4970891)(8.52066,-0.64858073)(7.690144,-0.0915866)(6.8596272,0.46540752)(3.7023063,-3.0658941)(2.7301438,-2.8315866)(1.7579813,-2.597279)(0.0,-0.16856964)(0.29014385,0.7884134)(0.5802877,1.7453965)(1.806663,1.4047688)(2.7301438,1.7884134)
\end{pspicture}
Wikipedia

2. Kwadrat z liczbami pierwszymi
Do kwadratu p \times p (gdzie p jest liczbą pierwszą) wpisujemy po kolei dodatnie liczby całkowite. Czy zawsze w każdej kolumnie i każdym wierszu będzie co najmniej jedna liczba pierwsza?

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 1 & \cellcolor{red} 2 \\ \hline 
\cellcolor{red} 3 & 4 \\ \hline  \end{tabular} \qquad
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 1 & \cellcolor{red} 2 & \cellcolor{red} 3 \\ \hline 
4 & \cellcolor{red} 5 & 6 \\ \hline 
\cellcolor{red} 7 & 8 & 9 \\ \hline   \end{tabular} \qquad 
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline 1 & \cellcolor{red} 2 & \cellcolor{red} 3 & 4 & \cellcolor{red} 5 \\ \hline 
6 & \cellcolor{red} 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 
\cellcolor{red} 11 & 12 & \cellcolor{red} 13 & 14 & 15 \\ \hline 
16 & \cellcolor{red} 17 & 18 & \cellcolor{red} 19 & 20 \\ \hline 
21 & 22 & \cellcolor{red} 23 & 24 & 25 \\ \hline \end{tabular}

3. Hipoteza Goldbacha
Czy każda parzysta liczba naturalna większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych?

Chyba jedna z najbardziej znanych hipotez. Mimo braku dowodu (albo obalenia) z powodzeniem znajduje zastosowanie, między innymi w kryptografii.
Wikipedia

4. Problem Collatza / problem Ulama
Wybierz dowolną liczbę całkowitą dodatnią c_0. Jeśli jest parzysta, podziel ją przez 2. Jeśli nieparzysta, pomnóż przez 3 i dodaj 1. Z tak otrzymaną liczbą powtórz powyższy algorytm.
c_{n+1} =  \begin{cases} \frac{c_n}{2} &\text{gdy }c_n \text{ jest parzyste} \\ 3c_n+1 &\text{gdy } c_n \text{ jest nieparzyste} \end{cases}
Czy zawsze algorytm skończy się na liczbie 1?

To mówiąc o tym zagadnieniu Paul Erdős wypowiedział słynne zdanie "matematyka nie jest jeszcze gotowa na takie problemy".
Wikipedia

5. Oświetlanie wielokąta
Niech będzie dany dowolny wielokąt prosty, którego wewnętrzne boki odbijają światło, oraz źródło światła wewnątrz wielokąta. Czy istnieje punkt, który nie będzie oświetlony?
Lub nieco prostsza wersja - czy dla każdego wielokąta prostego można znaleźć punkt wewnątrz niego, który oświetli cały wielokąt?

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45, x=4.0cm, y=2.0cm] 
\clip(-0.5,-0.5) rectangle (2.5,2.5);
\fill[color=pink,fill opacity=0.1] (0,0) -- (1,0.5) -- (1.5,0) -- (2,1) -- (1.5,2) -- (1.5,1) -- (1,2) -- (0,2) -- (0.5,1.5) -- (0.5,1) -- (0,1.5) -- cycle;
\draw (0,0)-- (1,0.5);
\draw (1,0.5)-- (1.5,0);
\draw (1.5,0)-- (2,1);
\draw (2,1)-- (1.5,2);
\draw (1.5,2)-- (1.5,1);
\draw (1.5,1)-- (1,2);
\draw (1,2)-- (0,2);
\draw (0,2)-- (0.5,1.5);
\draw (0.5,1.5)-- (0.5,1);
\draw (0.5,1)-- (0,1.5);
\draw (0,1.5)-- (0,0);
\fill [color= yellow] (0.75,1.75) circle (3.5pt);
\end{tikzpicture}

6. Doskonała cegiełka Eulera / prostopadłościan doskonały
Czy istnieje prostopadłościan, którego boki oraz wszystkie przekątne są liczbami całkowitymi?

Wolfram

7. Podział prostokąta
Czy można podzielić prostokąt na 5, 7 lub 9 przystających części, które nie są prostokątami?

Dla parzystego podziału problem jest trywialny. Dla nieparzystego podziału udowodniono, że nie da się dla 3 części oraz da się dla 11 i więcej - tylko te trzy są nierozwiązane.
MathOverflow

8. Odległości między punktami
Ułóż n punktów na płaszczyźnie w taki sposób, aby było między nimi n-1 różnych odległości oraz aby jedna z nich wystąpiła jeden raz, kolejna dwa razy itd. aż do odległości n-1, która wystąpi n-1 razy.

Znane jest rozwiązanie dla n \le 8. Jeśli uda się udowodnić istnienie takiego ułożenia dla dowolnego n, Paul Erdős wyznaczył nagrodę 500$. Jeśli wykaże się, że takie ułożenie nie jest możliwe, nagroda wynosi 50$

9. Trójkąty Kobona
Ile maksymalnie trójkątów może powstać na płaszczyźnie przy przecięciu n prostych?

Nieznane jest optymalne rozwiązanie już dla n=10.
Wikipedia

10. Liczby Lychrela
Wybierz dowolną liczbę naturalną i dodaj do niej liczbę, która powstaje z przeciwnego zapisania jej cyfr (np. do 123 dodajemy 321). Czy powtarzając tę operację zawsze uzyskamy (w pewnym momencie) liczbę palindromiczną?

Problem jest otwarty dla systemu dziesiętnego. Najmniejszą podejrzaną liczbą, dla której to nie zachodzi, jest 196.
Wikipedia

11. Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych
Liczby pierwsze bliźniacze to takie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. Czy takich liczb jest nieskończenie wiele?

I ogólnie - czy jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, których różnica wynosi 2k?
Wikipedia
(zaproponował Lorek)

12. Stała Eulera
Czy stała Eulera jest liczbą wymierną?

Stała Eulera (Eulera-Mascheroniego) oznaczona grecką literą \gamma jest granicą ciągu:\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right). Nie wiadomo, czy jest liczbą wymierną.
Wikipedia
(zaproponował Lorek)

13. Problem znalezienia najdłuższej zwyczajnej ścieżki skoczka na szachownicy n \times n
Ścieżka zwyczajna to taka, która nie zawiera samoprzecięć. Jaka jest najdłuższa możliwa do zrealizowania ścieżka (zamknięta lub otwarta) na określonej szachownicy?

Obrazek Obrazek
Najdłuższe otwarte ścieżki są znane tylko dla n \leq 9 i ich długości wynosza odpowiednio 0, 0, 2, 5, 10, 17, 24, 35, 47.
Najdłuższe zamknięte ścieżki są znane tylko dla n \leq  10 i ich długość wynoszą odpowiednio 0, 0, 0, 4, 8, 12, 24, 32, 42, 54.
W szczególności gdy n=8 i ścieżka nie musi być zamknięta, to maksymalna jej długość wynosi 35 (diagram lewy); dla ścieżki zamkniętej długość ta jest równa 32 (diagram prawy).
Wikipedia
(zaproponował mol_ksiazkowy)

14. Hipoteza Erdősa–Strausa
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n > 4 istnieją liczby całkowite dodatnie a, b, c takie że:
\frac{4}{n}= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
Czy istnieje liczba, której nie da się tak przedstawić?

np. dla n=9 zachodzi \frac{4}{9}= \frac{1}{4} + \frac{1}{6}+ \frac{1}{36}
(zaproponował mol_ksiazkowy)

15. Hipoteza Leona Jeśmanowicza
Niech a, b, c będzie trójką pitagorejską, tj. trójką liczb naturalnych: a^2+b^2=c^2. Wtedy równanie a^x+b^y=c^z o niewiadomych x, y, z nie ma innych rozwiązań niż (x, y, z)=(2,2,2).

Hipoteza postawiona w latach 50-tych nie została do dziś rozstrzygnięta.
źródło W. Bednarek, szkice o liczbach, funkcjach i figurach
(zaproponował mol_ksiazkowy)

16. Podział kwadratu na kwadraty
Każdy kwadrat o boku n \ge 22 można rozłożyć na mniejsze kwadraty o boku całkowitym w taki sposób, aby żaden z nich nie powtarzał się więcej niż dwa razy?

Czy istnieje kwadrat, którego w ten sposób rozłożyć się nie da ?
Poniżej przykład gdy n=22.
Obrazek
źródło (prezentacja PowerPoint)
(zaproponował mol_ksiazkowy)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Okręgi i proste - zadanie 3  marekk  0
 "Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy" - zadanie 2  banja  4
 granica funkcji z "e"  makkoz  7
 "Proste" rownanie liniowe ;)  birdy1986  4
 Proste, punkt symetryczny  matix  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl