szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2012, o 14:35 
Użytkownik

Posty: 2
Sprawdź czy punkt Q(34,20,15) leży na prostej k normalnej do powierzchni S danej wzorem S= x^{y}-z=0 i przebijającej S w punkcie P(2,4,16)

Nie mam koncepcji, może spróbować napisać wektor normalny a później sprawdzić czy punkt należy (ale trudno będzie przekształcić r-nie) - albo z gradientu, tylko jak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2012, o 14:54 
Użytkownik

Posty: 1439
Lokalizacja: Warszawa
Znaleźć za pomocą gradientu równanie prostej normalnej przechodzącej przez P i sprawdzić, czy Q do niej należy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2012, o 15:27 
Użytkownik

Posty: 2
Obliczam gradient, wyszło mi: fgrad=[yx^{y-1},x^{y}lnx,-1]. Ten gradient jest wektorem normalnym płaszczyzny. Podstawiam punkt P i gradient do wzoru na równanie prostej kanonicznej i otrzymuje: \frac{x-2}{yx^{y-1}}=\frac{y-4}{x^{y}lnx}=\frac{z-6}{-1}. Teraz wystarczy wstawić współrzędne punktu Q i sprawdzić czy równania się zgadzają?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 cze 2012, o 19:05 
Użytkownik

Posty: 1439
Lokalizacja: Warszawa
To co trzymałeś nie wygląda za bardzo na równanie płaszczyzny.

F(x,y,z)=x^y-z

\textup{grad}\,F(x,y,z)=[yx^{y-1},x^y\ln x,-1]

\textup{grad}\,F(P)=[4\cdot2^3,2^4\ln 2,-1]=[32,16\ln2,-1]

W takim razie prosta normalna do powierzchni S przechodząca przez P to:

k=(2,4,16)+\textup{lin}([32,16\ln2,-1])

Teraz nietrudno sprawdzić, czy Q\in k.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 cze 2012, o 19:30 
Użytkownik

Posty: 30
Witam, mam jeszcze jedno pytanie do tego zadania, a właściwie do samego obliczania gradientu: gradient obliczamy jako pochodne cząstkowe z funkcji, którą dana jest płaszczyzna czyli S= x^{y}-z=0 czyli jak rozumiem, przekształcamy to do postaci z= x^{y} i kolejno liczymy i podstawiamy za zmienne współrzędne punktu P
\frac{ \partial }{ \partial x} (x^{y})=yx ^{y-1} \\ \frac{ \partial }{ \partial y} (x^{y})=x^{y}lnx\\

No i właśnie tutaj moje pytanie: jak policzyć pochodną cząstkową po z? Skąd bierze się to -1?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 cze 2012, o 21:15 
Użytkownik

Posty: 1439
Lokalizacja: Warszawa
To nie jest płaszczyzna, tylko powierzchnia. Obliczamy gradient funkcji F\colon\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, której poziomicą jest zbiór S.
F(x,y,z)=x^y-z
S=\left\{ P\in\mathbb{R}^3:\ F(P)=0\right\}

Zresztą dokładnie to opisałem w swoim rozwiązaniu i chyba nietrudno stwierdzić, że pochodna cząstkowa funkcji F w przykładzie po z wynosi (-1).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Napisz równanie prostej rówoległej  Haju1991  2
 Przecięcie prostej i okręgu - Excel  pop3k  2
 Pole powierzchni bocznej prostopadlościanu  Erwb  5
 równanie krawędziowe prostej - zadanie 6  Ralstin  1
 Punkt w 3D  AS3000  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl