szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 cze 2012, o 19:25 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Cześć ;)
Mam tutaj dwa zadania z funkcji homograficznej, z którymi miałam problemy.


1. Funkcja F jest funkcją homograficzną określoną wzorem
F(x)= \frac{2a - x}{x + 2}
Miejscem zerowym funkcji jest liczba 8

a) Oblicz wartość parametru a.
b) Mając wyznaczoną wartość a, oblicz argument, dla którego wartość funkcji F wynosi \sqrt{2}. Podaj ten argument w postaci: p + b \sqrt{c}, gdzie p, b, c  \in W i c > 0



2. Funkcja F(x) =  \frac{2 - x}{x + b} przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x  \in (- \infty ; -5) \cup (2; + \infty ).

a) Wyznacz wartość współczynnika b.
b) Wyznacz te argumenty, dla których funkcja F osiąga wartości mniejsze niż funkcja G, jeśli G(x) =  \frac{3x + 8}{x + 5}.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2012, o 19:43 
Użytkownik

Posty: 1561
Lokalizacja: Witaszyce
Zad. 1 Skoro miejscem zerowym jest osiem to za iksa wstawiasz osiem i wszystko jest równe zero i liczysz a Jak wyliczysz a to potem Twoja funkcja jest równa \sqrt{2} i jeszcze się przyda ustalić dziedzinę.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 cze 2012, o 19:50 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
F(x) =  \frac{2a - x}{x + 2} 

0 =  \frac{2a-8}{10} 

0 = 2a - 8

a = 4

I jak to już mam, to trochę gubię się w kolejnych obliczeniach, bo...

\sqrt{2} =  \frac{8 - x}{x + 2} 

x \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 8 - x

I tak nie do końca wiem co dalej zrobić, ażeby obliczyć x
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2012, o 19:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1610
Lokalizacja: Polska
1.a)2a-8=0
b)Podstaw wyliczoną wartość za a i przyrównaj funkcję do \sqrt{2}

2.a)\frac{2 - x}{x + b}<0 \Rightarrow (2-x)(x+b)<0 \Rightarrow -(x-2)(x+b)<0
Mamy tutaj funkcję kwadratową,której miejscami zerowymi są 2,-b,a rozwiązaniem tej nierówności kwadratowej jest x \in (- \infty ;- b) \cup (2; + \infty ).Ponieważ funkcja homograficzna przyjmuje wartości ujemne tylko dla x \in (- \infty ; -5) \cup (2; + \infty ),więc b=5
b)\frac{2 - x}{x + 5}< \frac{3x + 8}{x + 5}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2012, o 19:56 
Użytkownik

Posty: 1561
Lokalizacja: Witaszyce
x( \sqrt{2}+1)=8-2 \sqrt{2} dzielimy i usuwamy niewymierność
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2012, o 19:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
\sqrt{2} =  \frac{8-x}{x+2} /  \cdot (x+2)\\
 (x+2)\sqrt{2}   = 8-x\\
x \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 8-x\\
x \sqrt{2} +x = 8 - 2 \sqrt{2} \\
x( \sqrt{2}+1) = 8-2 \sqrt{2}/:( \sqrt{2}   +1)\\
x =  \frac{8-2 \sqrt{2} }{ \sqrt{2} +1}/  \cdot  \frac{ \sqrt{2}-1 }{ \sqrt{2} -1} \\
x =  \frac{(8-2 \sqrt{2})( \sqrt{2} -1) }{ (\sqrt{2})^{2} - 1^{2} }\\
x =  \frac{8 \sqrt{2}-8-4+2 \sqrt{2}  }{2-1} \\
x =  \frac{10 \sqrt{2} -12 }{1} = 10 \sqrt{2}  -12
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 cze 2012, o 20:10 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Mam takie pytanie...
Do drugiego zadania.
Mamy równianie
\frac{2 - x}{x + 5} <  \frac{3x + 8}{x + 5}
I już po przekształceniu:
\frac{-4x - 6}{x + 5} < 0

Możemy teraz wysnuć dwa założenia...
Żeby ta nierówność była mniejsza od zera to albo licznik albo mianownik musi być mniejszy od zera, no i można tutaj rozpatrzyć dwa przypadki.

W pierwszym, kiedy
-4x - 6 < 0  \Rightarrow  x < - \frac{3}{2} 

x + 5 > 0   \Rightarrow  x > -5

Drugi przypadek
-4x - 6 > 0  \Rightarrow  x > - \frac{3}{2} 

x + 5 < 0   \Rightarrow  x < -5 

x  \in (- \infty ; -5) \cup (- \frac{3}{2}; + \infty )

Po czym stwierdzić, która odpowiedź jest poprawna?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2012, o 20:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
Skoro są mniejsze od zera, to mają przeciwne znaki. A więc jest to równoważne z:

(-4x-6)(x+5)<0 \\
x_{1} = - \frac{3}{2} \ x_{2} = -5

Jest to nic innego jak równanie kwadratowe z parabolą o ramionach w dół. A więc będzie to przyjmować wartości ujemne od minus nieskończoności do pierwszego miejsca zerowego oraz od drugiego do nieskończoności:

x \in (- \infty ; -5) \cup (- \frac{3}{2}; + \infty )
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 cze 2012, o 20:17 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Dziękuję wszystkim za pomoc ;)
Wątpliwości zostały rozwiane!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 funkcja homograficzna - zadania - zadanie 2  ttossiaa  1
 nierównosci - zadania  comix  7
 Funkcja wymierna - nierówności.  Gambit  4
 f. homograficzna z modułem  Anonymous  1
 Rozwiąż nierówność - funkcja homograficzna  judge00  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl