szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2012, o 13:09 
Gość Specjalny

Posty: 8601
Lokalizacja: Kraków
Interpretacja geometryczna wybranych podstawień
stosowanych przy obliczaniu całek






Przykład 1
Rozważmy następującą całkę nieoznaczoną:

\int \sin x \cos x \, \dd x \; .

Jednym ze sposobów na jej rozwiązanie jest podstawienie y = \cos x. Ogólnie, zastosowanie podstawienia sprawia, iż różniczka \dd x nie jest równa różniczce nowej zmiennej, tj. \dd x \neq \dd y. Jak można ten fakt zinterpretować geometrycznie? Otóż rozważmy wykres funkcji danej równaniem y = \cos x:

Obrazek

Następnie zaznaczmy na osi OX pewien przyrost \dd x (w rzeczywistości \dd x jest nieskończenie małe, jednak na potrzeby rysunku przyrost ten został powiększony) jako przedział liczbowy (x, x+\dd x). Przyrost nowej zmiennej y możemy przedstawić jako obraz odcinka (x, x+\dd x) w odwzorowaniu x \to y = \cos x.




Przykład 2
Uniwersalne podstawienie trygonometryczne, tj. podstawienie:

t = \tan \frac{x}{2}

pozwala często uprościć obliczenia całek z funkcji zawierających wyrażenia trygonometryczne takie jak \sin x, \cos x czy też \tan x.
Podstawienie to ma swoją interpretację geometryczną.
Rozważmy płaszczyznę i poziomą oś liczbową, w której początku umieszczamy okrąg jednostkowy. Zaznaczamy początek osi liczbowej O, punkt P = (0, 1) na okręgu oraz punkt t = (t, 0) na osi liczbowej. Połączenie odcinkiem punktów P i t pozwala nam na zaznaczenie kąta środkowego x jak na poniższym rysunku:

Obrazek

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt x ma miarę dwa razy mniejszą. Ostatecznie zauważmy, że z geometrycznej interpretacji tangensa jest:

\tan \frac{x}{2} = t




Przykład 3
Rozważmy krzywą drugiego stopnia:

y = \pm \sqrt{ax^2 + b x + c} \; . \quad (1)

Wybierzmy dowolny punkt (x_0, y_0) należący do tej krzywej, tj. punkt, którego współrzędne spełniają następujące równanie:

y_0^2 = ax_0^2 + bx_0 + c \; ,

a następnie poprowadźmy sieczną przechodzącą przez ten punkt. Równanie siecznej to:

y-y_0 = t(x-x_0) \; . \quad (2)

Sieczna ta przetnie krzywą w jeszcze jednym punkcie, oznaczmy go (x, y). Sytuację tę przedstawia poniższy rysunek:

Obrazek

Odpowiednio zmieniając wartość parametru t możemy zatem przejść całą krzywą.
Podstawiając do równania (2) dodatnie rozwiązanie (1), mamy:

\sqrt{ax^2 + bx + c} - y_0 = t(x - x_0)

W zależności od tego jakie własności trójmianu pod pierwiastkiem oraz wyboru punktu (x_0, y_0) otrzymujemy jedno z trzech podstawień Eulera.



Bibliografia:
1. "Weierstrass substitution", http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_substitution
2. "Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2", G. M. Fichtenholz
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczyć całkę oznaczoną dokonując wskazanych podstawień  tiraeth  2
 Podaj ilustrację geometryczną zbioru  anjay  6
 Interpretacja geometryczna zbioru rozwiązań układu równań  kaczkadziwaczka22  0
 Układ równań- interpretacja geometryczna  PunkGirl  7
 Operatory sprzężone - interpretacja działania operatora  Motaro444  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com