szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lip 2012, o 00:08 
Użytkownik

Posty: 184
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnić:
\sum_{k=1}^{n} (-1) ^{k} {n \choose k}=0
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lip 2012, o 00:17 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
(1-1)^n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2012, o 14:30 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
danek12 napisał(a):
\sum_{k=1}^{n} (-1) ^{k} {n \choose k}=0

Na pewno dokładnie to przepisałeś?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 sie 2012, o 00:45 
Użytkownik

Posty: 79
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Czy chodziło o \sum_{k=0}^{n}(-1) ^{k} {n \choose k}=0?

Najpierw dla n=1
\sum_{k=0}^{1} (-1)^k{n \choose k}={1 \choose 0}-{1 \choose 1}=0

Zakładamy, że jeśli
\sum_{k=0}^{n}(-1) ^{k} {n \choose k}=0
to
\sum_{k=0}^{n+1}(-1) ^{k} {n+1 \choose k}=0

czyli dowodzimy
\sum_{k=0}^{n}(-1) ^{k} {n \choose k}=\sum_{k=0}^{n+1}(-1) ^{k} {n+1 \choose k}=0
\sum_{k=0}^{n}(-1) ^{k} {n \choose k}=\sum_{k=0}^{n}(-1) ^{k} {n+1 \choose k}+{n+1 \choose n+1} \cdot (-1)^{n+1}

korzystamy ze wzoru
{n \choose k} + {n\choose k-1} = {n+1 \choose k}

czyli:
\sum_{k=0}^{n}(-1) ^{k} {n \choose k}=\sum_{k=1}^{n}(-1) ^{k} {n \choose k} +\sum_{k=1}^{n}(-1) ^{k} {n \choose k-1}+(-1)^{n+1}+1
\sum_{k=0}^{n}(-1) ^{k} {n \choose k}=\sum_{k=0}^{n}(-1) ^{k} {n \choose k} +\sum_{k=1}^{n}(-1) ^{k} {n \choose k-1}+(-1)^{n+1}
-\sum_{k=1}^{n}(-1) ^{k} {n \choose k-1}=(-1)^{n+1}
\sum_{k=1}^{n}(-1) ^{k-1} {n \choose k-1}=(-1)^{n+1}
\sum_{k=0}^{n}(-1) ^{k-1} {n \choose k-1}
z tego wynika, że:
\sum_{k=0}^{n-1}(-1) ^{k} {n \choose k}=(-1)^{n+1}
\sum_{k=0}^{n}(-1) ^{k} {n \choose k}-(-1)^{n} {n \choose n}=(-1)^{n+1}

Ostatnia równość jest prawdziwa, co wynika z założenia.
oczywiście -(-1)^{n}=(-1)^{n+1}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2013, o 19:48 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Bialystok
\sum_{k=0}^{1} (-1)^k{n \choose k}={1 \choose 0}-{1 \choose 1}=0
skąd to się wzięło?:D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód z symbolen Newtona  michinpl  2
 dziwny dwumian newtona  spzkasia  3
 udowodnić przez indukcje  FEMO  2
 udowodnic nierownosc - zadanie 41  snd0cff  3
 Udowodnić indukcyjnie.  Martyn1  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl