szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2012, o 11:19 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Model czasoprzestrzeni Friedmana-Robertsona-Walkera

Dane obserwacyjne wskazują, że w pewnej skali ( większej od kilkuset megaparseków ) Wszechświat jest w pewnym przybliżeniu jednorodny i izotropowy. Założenia o jednorodności i izotropii zarówno czasoprzestrzeni jak i rozkładu materii i promieniowania są głównymi założeniami modeli kosmologicznych FRW.
W tym temacie przedstawimy kilka podstawowych własności tego modelu i wynikających z niego faktów.

Przyjmijmy tutaj oznaczenia współrzędnych: \left(x^0,x^1,x^2,x^3\right)=\left(t,r,\theta,\phi\right)

Element liniowy dany jest zależnością:
\mbox{d}s^2=-\mbox{d}  t^2+a^2(t)\left[\frac{ \mbox{d}r^2}{1-kr^2}+r^2\left(\mbox{d}\theta^2+\sin^2\theta \mbox{d}\phi^2\right)\right] ,

gdzie a(t) jest tzw. czynnikiem skali, natomiast k przyjmuje wartości :
k= \begin{cases}1 , \ \mbox{dla modelu zamkniętego}  \\ 0, \ \mbox{dla modelu płaskiego} \\ -1 , \ \mbox{dla modelu otwartego}\end{cases}


Metryka w postaci macierzowej jest następująca :
\[
 g_{\alpha\beta} =
 \begin{pmatrix}
  -1 & 0  & 0 & 0 \\
  0 &  \frac{a^2\left(t\right)}{1-kr^2}  & 0 & 0 \\
   0& 0& a^2\left(t\right)r^2&0\\
  0 & 0 & 0 & a^2\left(t\right)r^2\sin^2\theta
 \end{pmatrix}
\]


Wykorzystując tą postać metryki możemy zapisać element liniowy jako \mbox{d}s^2=g_{uv}\mbox{d}x^u\mbox{d}x^v

Uwzględniając fakt, że pochodna funkcji stałej jest zerem, wnioskujemy, że jedyne niezerowe pochodne tensora metrycznego to:
$\begin{align*}\frac{\partial g_{11}}{\partial x^{0}},\ \frac{\partial g_{11}}{\partial x^{1}},\ \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{0}},\ \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{1}},\ \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{0}},\ \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{1}},\ \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{2}},\end{align*}$

Symbole Christoffela ( drugiego rodzaju )

Symbole Christoffela można wyznaczyć z równań geodezyjnych lub ogólnego wzoru.
Tutaj zaprezentujemy sposób ich wyznaczania z ogólnego wzoru:
\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}=\frac{1}{2g_{\alpha\alpha}}\left(\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\gamma}}+ \frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial x^{\beta}}- \frac{\partial g_{\beta \gamma}}{\partial x^{\alpha}} \right)

Dodatkowo musimy pamiętać, że symbole Christoffela są symetryczne ze względu na przestawienie dolnych wskaźników, tj.
\Gamma^{\alpha}_{\beta \gamma}=\Gamma^{\alpha}_{\gamma \beta}

Z postaci ogólnego wzoru oraz na podstawie informacji o niezerowych pochodnych tensora metrycznego wnioskujemy, że jedyne niezerowe symbole Christoffela to :
$\begin{align*}&\Gamma^{1}_{10}=\Gamma^{1}_{01}, \Gamma^{0}_{11}, \Gamma^{1}_{11},\Gamma^{2}_{20}=\Gamma^{2}_{02}, \Gamma^{0}_{22},\Gamma^{2}_{21}=\Gamma^{2}_{12}, \Gamma^{1}_{22}, \Gamma^{3}_{30}=\Gamma^{3}_{03}, \Gamma^{0}_{33}, \Gamma^{3}_{31}=\Gamma^{3}_{13}, \Gamma^{1}_{33},\\ & \Gamma^{3}_{32}=\Gamma^{3}_{23},\Gamma^{2}_{33}\end{align*}$

Policzmy najpierw te symbole dla \beta=\gamma , \alpha \neq \beta

Mamy :
$\begin{align*}\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}=&\Gamma^{\alpha}_{\beta\beta}=\frac{1}{2g_{\alpha\alpha}}\left(\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\beta}}+ \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^{\beta}}- \frac{\partial g_{\beta \beta}}{\partial x^{\alpha}}\right)=\frac{1}{2g_{\alpha\alpha}}\left(2\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\beta}}- \frac{\partial g_{\beta \beta}}{\partial x^{\alpha}}\right)=\\ & =-\frac{1}{2g_{\alpha\alpha}}\cdot\frac{\partial g_{\beta \beta}}{\partial x^{\alpha}}\end{align*}$

dla \alpha\neq\beta pochodna \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\beta}}=0, ponieważ elementy leżące poza główną przekątną są zerowe.

Stąd:

$\begin{align*}\Gamma^{0}_{11}=&-\frac{1}{2g_{00}}\cdot \frac{\partial g_{11}}{\partial x^{0}}=-\frac{1}{2\cdot\left(-1\right)}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{a^2(t)}{1-kr^2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2a(t)a'(t)}{1-kr^2}= \frac{a(t)a'(t)}{1-kr^2}\\ \Gamma^{0}_{22}=&-\frac{1}{2g_{00}}\cdot \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{0}}=-\frac{1}{2\cdot \left(-1\right)}\cdot \frac{\partial}{\partial t} \left(a^2(t)\cdot r^2\right)=\frac{1}{2}\cdot 2a(t)a'(t)r^2=a(t)a'(t)r^2\\ \Gamma^{1}_{22}=&-\frac{1}{2g_{11}}\cdot \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{1}}=-\frac{1}{\frac{2a^2(t)}{1-kr^2}}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(a^2(t)r^2\right)=-\frac{1-kr^2}{2a^2(t)}\cdot 2a^2(t)r=-r\left(1-kr^2\right)\\ \Gamma^{0}_{33}=&-\frac{1}{2g_{00}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{0}}=-\frac{1}{2\cdot\left(-1\right)}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\left(a^2(t)r^2\sin^2\theta=\frac{1}{2}\cdot 2a(t)a'(t)r^2\sin^2\theta\right)=\\&= a(t)a'(t)r^2\sin^2\theta \\ \Gamma^{1}_{33}=&-\frac{1}{2g_{11}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{1}}=-\frac{1}{\frac{2a^2(t)}{1-kr^2}}\cdot \frac{\partial}{\partial r}\left(a^2(t)r^2\sin^2\theta\right)=-\frac{1-kr^2}{2a^2(t)}\cdot 2ra^2(t)\sin^2\theta=\\&=-r(1-kr^2)\sin^2\theta\\ \Gamma^{2}_{33}=&-\frac{1}{2g_{22}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{2}}=-\frac{1}{2a^2(t)r^2}\cdot\frac{\partial }{\partial \theta}\left(a^2(t)r^2\sin^2\theta\right)=\\&=\frac{-1}{2a^2(t)r^2}\cdot a^2(t)r^2\cdot 2\sin\theta\cos\theta=-\sin\theta\cos\theta \end{align*}$

Pozostałe symbole są postaci \Gamma^{\alpha}_{\alpha\gamma} lub są symetryczne do nich.

Zatem mamy do policzenia
\Gamma^{\alpha}_{\alpha\gamma}=\frac{1}{2g_{\alpha\alpha}}\left(\frac{\partial g_{\alpha\alpha}}{\partial x^{\gamma}}+ \frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial x^{\alpha}}- \frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial x^{\alpha}} \right)=\frac{1}{2g_{\alpha\alpha}}\cdot \frac{\partial g_{\alpha\alpha}}{\partial x^{\gamma}}

Zatem:
$\begin{align*}\Gamma^{1}_{11}=&\frac{1}{2g_{11}}\cdot \frac{\partial g_{11}}{\partial x^{1}}=\frac{1}{2\cdot \frac{a^2(t)}{1-kr^2} }\cdot \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{a^2(t)}{1-kr^2}\right)=\frac{1-kr^2}{2a^2(t)}\cdot \frac{a^2(t)\cdot 2kr}{\left(1-kr^2\right)^2}=\frac{kr}{1-kr^2}\\ \Gamma^{1}_{10}=&\frac{1}{2g_{11}}\cdot \frac{\partial g_{11}}{\partial x^{0}}=\frac{1}{2\cdot \frac{a^2(t)}{1-kr^2} }\cdot \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{a^2(t)}{1-kr^2}\right)=\frac{1-kr^2}{2a^2(t)}\cdot \frac{2a(t)a'(t)}{1-kr^2}=\frac{a'(t)}{a(t)}\\ \Gamma^{2}_{20}=&\frac{1}{2g_{22}}\cdot \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{0}}=\frac{1}{2a^2(t)r^2}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\left(a^2(t)r^2\right)=\frac{1}{2a^2(t)r^2}\cdot 2a(t)a'(t)r^2=\frac{a'(t)}{a(t)}\\ \Gamma^{2}_{21}=&\frac{1}{2g_{22}}\cdot \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{1}}=\frac{1}{2a^2(t)r^2}\cdot \frac{\partial}{\partial r}\left(a^2(t)r^2\right)=\frac{1}{2a^2(t)r^2}\cdot 2ra^2(t)=\frac{1}{r}\\ \Gamma^{3}_{30}=&\frac{1}{2g_{33}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{0}}=\frac{1}{2a^2(t)r^2\sin^2\theta}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\left(a^2(t)r^2\sin^2\theta\right)=\\&=\frac{1}{2a^2(t)r^2\sin^2\theta}\cdot 2a(t)a'(t)r^2\sin^2\theta=\frac{a'(t)}{a(t)}\\ \Gamma^{3}_{31}=&\frac{1}{2g_{33}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{1}}=\frac{1}{2a^2(t)r^2\sin^2\theta}\cdot \frac{\partial}{\partial r}\left(a^2(t)r^2\sin^2\theta\right)=\\&=\frac{1}{2a^2(t)r^2\sin^2\theta}\cdot 2ra^2(t)\sin^2\theta=\frac{1}{r}\\ \Gamma^{3}_{32}=&\frac{1}{2g_{33}}\cdot \frac{\partial g_{33}}{\partial x^{2}}=\frac{1}{2a^2(t)r^2\sin^2\theta}\cdot \frac{\partial}{\partial \theta} \left(a^2(t)r^2\sin^2\theta\right)=\frac{2a^2(t)r^2\sin\theta\cos\theta}{2a^2(t)r^2\sin^2\theta}=\\&=\ctg \theta \end{align*}$

Pozostałe parametry opisujące krzywiznę czasoprzestrzeni podamy bez wyprowadzenia ( ze względu na ograniczoną ilość miejsca ) oraz pominiemy te, które wynikają bezpośrednio z własności symetrii tensorów.

Tensor Riemanna

$\begin{align*}R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}}=&R_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}}=R_{\hat{t}\hat{\phi}\hat{t}\hat{\phi}}= -\frac{a''(t) }{a(t) } \\
R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}}=&R_{\hat{r}\hat{\phi}\hat{r}\hat{\phi}}=R_{\hat{\theta}\hat{\phi}\hat{\theta}\hat{\phi}}= \frac{  k+ \left( a'(t)  \right) ^2}{a^2(t) }\end{align*}$

Tensor Einsteina

$\begin{align*}G_{\hat{t}\hat{t}}=& 3 \cdot \frac{  k+ \left( a'(t)\right) ^2}{a^2(t) }\\
G_{\hat{r}\hat{r}}=&G_{\hat{\theta}\hat{\theta}}=G_{\hat{\phi}\hat{\phi}}= -\frac{k+ \left(a'(t)  \right) ^2+2a(t) a''(t)}{a^2 (t) }\end{align*}$

Przedstawimy teraz kilka konsekwencji wynikających z przyjęcia tego modelu.

Przesunięcie ku czerwieni

Rozważmy płaską metrykę FRW ( k=0 ). Element liniowy jest postaci :

\mbox{d}s^2=-\mbox{d}t^2+a^2(t)\left[\mbox{d}r^2}+r^2\left(\mbox{d}\theta^2+\sin^2\theta \mbox{d}\phi^2\right)\right]

Ustalmy tak układ współrzędnych, by obserwator znalazł się w jego początku. Załóżmy, że w chwili t_0 z galaktyki o współrzędnej radialnej r=R został wyemitowany foton o częstości \omega_0. Naszego zadanie polega na znalezieniu częstości \omega zarejestrowanej przez obserwatora w chwili t.
Impuls świetlny wysłany z odległej galaktyki rozchodzi się wzdłuż radialnej krzywej zerowej, dla której spełniona jest zależność

\mbox{d}s^2=0=-\mbox{d}t^2+a^2(t)\mbox{d}r^2

Mamy więc

\mbox{d}r= \frac{\mbox{d}t}{a(t)}

W przedziale czasu \left( t_0,t \right) impuls pokonuje odległość, określoną przez zmianę współrzędnej radialnej, równą R.

Mamy zatem

R= \int_{t_0}^{t}  \frac{\mbox{d}t}{a(t)}

Niech teraz źródło emituje serię impulsów oddzielonych bardzo krótkimi przedziałami czasu \Delta t_0, a więc z częstością \omega_{0}= \frac{2 \pi }{\Delta t_0}.
Wszystkie impulsy pokonują taką samą odległość mierzoną zmianą współrzędnej radialnej o R, a więc

\int_{t_0}^{t}  \frac{\mbox{d}t}{a(t)}=\int_{t_0+\Delta t_0}^{t+\Delta t}  \frac{\mbox{d}t}{a(t)}

Założyliśmy, że \Delta t_0 oraz \Delta t są bardzo małe, więc powyższe całki różnią się tylko niewielkimi zmianami granic całkowania. Zatem musi być

\frac{\Delta t}{a(t)} - \frac{\Delta t_0}{a(t_0)} =0

Kładąc teraz \Delta t= \frac{2\pi}{\omega} oraz \Delta t_0= \frac{2\pi}{\omega_0} dostajemy

\frac{\omega}{\omega_0}= \frac{a(t_0)}{a(t)}

Jeżeli Wszechświat się rozszerza to a(t) jest rosnącą funkcją czasu.
Zatem

a(t_0)<a(t)

A w konsekwencji

\omega <\omega_0

Otrzymaliśmy więc przesunięcie ku czerwieni (redshift), które możemy określić wprowadzając wielkość z, taką, że zachodzi

1+z=\frac{\omega}{\omega_0}= \frac{a(t_0)}{a(t)}

Powyższe rozumowanie przeprowadzone było dla płaskiego modelu FRW. Jednak ma on taką samą postać również w innych modelach. Jako ćwiczenie proponuję dowód tego faktu, tj. że wyprowadzony wzór ma taką samą postać w modelach FRW z niezerową krzywizną przestrzenną.


Pierwsza zasada termodynamiki dla modeli FRW

Rozważmy ciecz kosmologiczną zamkniętą w objętości \Delta \mathcal{V}. Z założenia przestrzeń jest izotropowa, stąd nie ma przepływu ciepła w dowolnym kierunku. Ponadto jednorodność oznacza, że temperatura T zależy tylko od czasu. A więc strumień ciepła jest równy zeru i w dowolnej chwili czasu temperatura jest wszędzie jednakowa.
Zatem, zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki, infinitezymalna zmiana całkowitej energii cieczy \mbox{d}(\Delta E) zależy od \Delta \mathcal{V} :

\mbox{d} \left( \Delta E \right) =-p\mbox{d} \left( \Delta \mathcal{V} \right),

gdzie p oznacza ciśnienie materii zawartej w objętości \Delta \mathcal{V}.

Energia cieczy \Delta E jest równa \rho \Delta \mathcal{V}, przy czym \rho jest całkowitą gęstością energii.

Ustalmy \Delta \mathcal{V}_{wsp}=\Delta x \cdot \Delta y \cdot \Delta z

Z postaci metryki FRW wynika, że d=a(t)d_{wps}, gdzie d_{wsp}= \sqrt{ \left( \Delta x \right) ^2+\left( \Delta y \right) ^2 +\left( \Delta z \right) ^2},
skąd otrzymujemy w szczególności

\Delta \mathcal{V}=a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp}

Zatem

\mbox{d} \left( \rho a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp} \right) =-p\mbox{d} \left( a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp} \right) \\ \\  \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}  \left( \rho a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp} \right) =-p \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} t}  \left( a^3(t)\Delta \mathcal{V}_{wsp} \right)

\Delta \mathcal{V}_{wsp} nie zależy od czasu, zatem powyższe równanie możemy zapisać w ogólnej postaci :

\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}  \left[\rho(t) a^3(t) \right] =-p(t) \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} t}  \left[ a^3(t) \right]

Jest to pierwsza zasada termodynamiki dla jednorodnego i izotropowego Wszechświata.

Równanie Friedmana

Z równania Einsteina G_{\hat{t}\hat{t}}=8\pi\rho dostajemy

3 \cdot \frac{  k+ \left( a'(t)\right) ^2}{a^2(t) }=8\pi\rho \\ \\ \left(a'(t)\right)^2- \frac{8\pi\rho}{3}a^2(t)=-k

Ostatnia zależność to tzw. równanie Friedmana. Określa ono ewolucję wszechświata przy założeniu jego przestrzennej jednorodności i izotropowości.


\hline
Źródło:
1.F.Melia Cosmological Redshift in FRW Metrics with Constant Spacetime Curvature arXiv:1202.0775v1
2.J.B.Hartle Gravity. An Introduction to Einstein's General Relativity


Wszelkie uwagi proszę kierować na PW.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Model czasoprzestrzeni Friedmana-Robertsona-Walkera  ares41  4
 Model Bohra - objętość sfery  meido  0
 Pełny model ekonometryczny  karolcia_23  0
 model atomu wodoru-zadanko  Anonymous  1
 liniowy model regresji  lubierachowac  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl