szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 mar 2007, o 12:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 299
Lokalizacja: wwa
Temat: Całka krzywoliniowa nieskierowana

Niech L bedzie łukiem zwykłym ( bez przecięć ) , gładkim ( w każdym punkcie istnieje dokładnie jedna prosta styczna do łuku) w płaszczyźnie OXY, o przedstawieniu parametrycznym :

x=x(t), \;  y=y(t), \; t \in \langle \alpha, \beta \rangle

gdzie funkcje x,y \; \in C^1(\langle \alpha, \beta \rangle)
Obrazek

Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na łuku L.
Oznaczmy przez \Delta_n podział na n-części przedziału \langle \alpha, \beta \rangle punktami t_k, takimi że:
\alpha=t_0,
temu podziałowi \Delta_n odpowiada podział łuku L punktami A_k(x(t_k),y(t_k)) na łuki \overset{\smile}{A_{k-1}A_k}

Długość łuku \overset{\smile}{A_{k-1}A_k} oznaczamy przez \Delta l_k wyraża sie wzorem :
\Delta l_k=\int_{t_{k-1}}^{t_k} \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2} dt

Wybierzmy punkt \tau_k \; \in \; \langle t_{k-1},t_k \rangle, punktowi
\tau_k odpowiada punkt C_k(x(\tau_k),y(\tau_k))=(\xi_k, \eta_k) \; \in \; \overset{\smile}{A_{k-1}A_k}

Utwórzmy sumę całkową:

S_n=\sum_{k=1}^n f((\xi_k, \eta_k)) \cdot \Delta l_k


Definicja

Jeśli dla każdego normalnego ciągu normalnego podziałów \{\Delta_n\}_{n \in \mathbb{N}} przedziału \langle \alpha,\beta \rangle i przy dowolnym wyborze punktów \tau_k \; \in \; \langle t_{k-1},t_k \rangle ciąg \{S_n\}_{n \in \mathbb{N}} jest zbieżny do tej samej granicy właściwej (\in \mathbb{R}),
to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną funkcji f po łuku L, oznaczamy symbolem :

\int_{L} f(x,y)dl i piszemy:

\int_{L} f(x,y)dl=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f((\xi_k, \eta_k)) \cdot \Delta l_k

Interpratacja geometryczne

Jeżeli funkcja f \equiv 1, to \int_{L} dl = l (długość łuku)

Interpratacja fizyczna

Jeżeli funkcja f(x,y)=\rho(x,y) jest gęstością masy łuku L, to
masa łuku m=\int_L \rho(x,y) dl i zachodza analogiczne wzory jak dla całki podwójnej na momenty siły i momenty bezwładności. Ponadto współrzędne środka ciężkości łuku S(\xi,\eta) wyrażają się wzorami:

\xi=\frac{M_y}{m} \; \wedge \; \eta =\frac{M_x}{m}

Twierdzenie ( O zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę pojedynczą)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na zwykłym, gładkim łuku L polożonym w płaszczyżnie OXY o przedstawieniu parametrycznym :
x=x(t), \; y=y(t) \; \wedge t \in \langle \alpha, \beta \rangle
to:

\int_L f(x,y) dl=\int_{\alpha}^\beta} f[x(t),y(t)] \cdot \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt

Przykład 1
Obliczyć współrzędne środka ciężkości masy jednorodnej o gęstości \rho łuku okręgu x^2+y^2=R^2 położonego w I ćw. pł. OXY

m=\int_L \rho dl \;\;\;\; M_x=\int_L \rho \cdot y dl\;\;\;\; M_y=\int_L \rho \cdot x dl

L:\;\left\{\begin{array}{l}x=Rcost\\y=Rsint\end{array}\;\; t \in \langle 0,\frac{\pi}{2} \rangle

x'(t)=-R \cdot \sin{t} \;\; ,\; y'(t)=R \cdot \cos{t}

m=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \rho \sqrt{R^2 \cdot sin^2 t+R^2 \cdot cos^2 t} dt=\rho \cdot R \int_0^{\frac{\pi}{2}}dt=\frac{\pi R \rho }{2}

M_x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \rho \cdot R \cdot sint \cdot R dt
=\rho \cdot R^2  \int_0^{\frac{\pi}{2}} sint dt
=\rho R^2 [-cost]_0^{\frac{\pi}{2}}=\rho \cdot R^2

M_y=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\rho R cost R dt=\rho \cdot R^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}costdt=\rho \cdot R^2

\xi=\frac{M_y}{m}=\frac{2\rho R^2}{\rho R \pi}=\frac{2R}{\pi}=\eta \;\;\Rightarrow S(\frac{2R}{\pi},\frac{2R}{\pi})



Temat:Całka krzywoliniowa skierowana

Uwagi dot. skierowania łuku

Niech \overset{\smile}{AB} bedzie łukiem zwykłym , gładkim, w pł. OXY
, o przedstawieniu parametrycznym :x=x(t),\;\;y=y(t),\;\;t \in \langle \alpha , \beta \rangle
Przyjmując punkt A za początek i punkt B za koniec łuku \overset{\smile}{AB}, określamy jego skierowanie i przedstawienie parametryczne spełniające równość: A(x(\alpha),y(\alpha)) \; B(x(\beta),y(\beta)), jest zgodne ze skierowaniem tego łuku.
Przyjmując punkt B za początek i punkt A za koniec łuku \overset{\smile}{AB} określamy skierowanie przeciwne do poprzedniego i przedstawienie parametryczne z podanym wyżej warunkiem nie jest zgodne z tym skierowaniem łuku \overset{\smile}{AB}. To skierowanie bedziemy oznaczać przez \overset{\smile}{BA}, przedstawienie parametryczne :x=x(-t)\;\;y=y(-t)\;\;t \in \langle -\alpha,-\beta \rangle jest zgodne ze skierowaniem łuku \overset{\smile}{BA}



Całka krzywoiniowa
Niech uporządkowana para funkcji P\;i\;Q bedzie określona i ograniczona na łuku skierowanym \overset{\smile}{AB}.
Oznaczmy przez \Delta_n podział przydzialu\langle \alpha,\beta \rangle na n-części punktami t_k\;\;k \in \{1,2,...n\}, tak że \alpha=t_0. Liczbom t_k odpowiada podział łuku AB punktami A_k(x(t_k),y(t_k))=(x_k,y_k)
Wybierzmy liczby \tau_k \in \langle t_{k-1},t_k \rangle którym odpowiadają punkty C_k(x(\tau_k),y(\tau_k))=(\xi_k,\eta_k) \in \overset{\smile}{AB} i oznaczmy przez \Deltax_k=x_k-x_{k-1},\;\Delta y_k=y_k-y_{k-1}.
Utwórzmy sume całkową:

S_n=\sum_{k=1}^n[P(\xi_k,\eta_k) \cdot \Delta x_k+Q(\xi_k,\eta_k) \cdot \Delta y_k]


Definicja
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów \{\Delta_n\}_{n \in \mathbb{N}} przedzialu \langle \alpha,\beta \rangle punktami t_k i przy dowolnym wyborze punktów \tau_k , ciąg \{S_n\}_{n \in \mathbb{N}] jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną uporządkowanej pary funkcji P \;\;i \;\;Q po skierowantm łuku \overset{\smile}{AB} i oznaczamy symbolem :

\int\limits_{\overset{\smile}{AB}} P(x,y)dx+Q(x,y)dy,
lub:
\oint_{C} P(x,y)dx+Q(x,y)dy,
jeśli A=B i C=\overset{\smile}{AB} jest skierwanym względem obszaru ograniczonego krzywą C przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (powstaje obszar ograniczony po lewej stronie).


Twierdzenie (O zamiane całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedynczą)
Jeżeli funkcje P \;\; i \;\;Q są ciągłe na zwykłym, gładkim , skierowanym łuku \overset{\smile}{AB} o przestawieniu x=x(t)\;\; y=y(t)\;\; t \in \langle \alpha,\beta \rangle[tex] zgodnie ze skierowaniem łuku [tex]\overset{\smile}{AB}, to::

\int\limits_{\overset{\smile}{AB}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{\alpha}^{\beta} \{P[x(t),y(t)]\cdot x'(t)+Q[x(t),y(t)] \cdot y'(t)\}dt


Własności
1.

\int\limits_{\overset{\smile}{BA}} P(x,y)dx+Q(x,y)dy=-\int\limits_{\overset{\smile}{AB}} P(x,y)dx+Q(x,y)dy



2.

Jeżeli K jest sumą skonczonej liczby łuków, skierowanych , gładkich , o tej własności, że koniec poprzedniego jest początkiem łuku następnego , to całka krzywoliniowa skierowana po krzywej K jest sumą całek krzywoliniowych skierowanych po poszczególnych łukach.

3.

Analogicznie określamy całkę krzywoliniową skierowaną uporządkowanych funkcji P,Q,R po łuku gładkim, zwykłym , skierowanym \overset{\smile}{AB} w pł. OXYZ o przedstawieniu parametrycznym :
x=x(t)\;\;y=y(t)\;\;z=z(t)\;\;t \in \langle \alpha,\beta \rangle


\int\limits_{\overset{\smile}{AB}}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=
\int_{\alpha}^{\beta} \{P[x(t),y(t),z(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t),z(t)] y'(t)+R[x(t),y(t),z(t)]z'(t)\} dt
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całka podwójna - zadanie 7  Mapedd  0
 Całka sumy jest równa sumie całek  bolo  0
 Całka oznaczona Riemanna - definicja  bolo  0
 Całka oznaczona a pole pod krzywą  Wasilewski  0
 całka  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl