szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sie 2012, o 12:47 
Użytkownik

Posty: 1936
Lokalizacja: Warszawa
udowodnić że istnieje nieskończoność par argumentów, takich że funkcja przyjmuje tą samą wartość.
f(x) = \frac{x}{x^2+4}
Najłatwiej byłoby by pokazać, że jest parzysta, ale nie jest niestety.
Więc co jeśli pokażę, że nie jest monotoniczna, że w całej dziedzinie, tzn nie rośnie, a nie maleje w całej dziedzinie, czyli kiedyś wróci się na tą samą wartość. Więc spróbuję pokazać, że ona rośnie:
weźmy dowolne argumenty a i b, ale takie że a > b.
Gdyby funkcja rosła musiałoby zachodzić f(a)-f(b) > 0
f(a)-f(b) = \frac{a}{a^2+4} - \frac{b}{b^2+4} = \frac{a(b^2+4)-b(a^2+4)}{(a^2+4)(b^2+4)}
mianownik jest na pewno dodatni. Zajmijmy się licznikiem.
ab^2+4a-a^2b-4b = ab(b-a) - 4(b-a) = (b-a)(ab-4)
(b-a) jest dodatnie.ab-4nie wiadomo jakie jest - nie da się określić znaku - na tej podstawie twierdzę, że jest niemonotoniczna.
Czy dowód jest ok?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
PostNapisane: 12 sie 2012, o 12:59 
Użytkownik
Zauważ, że f(x) =f\left(\frac{4}{x}\right) .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sie 2012, o 13:17 
Moderator

Posty: 3014
Lokalizacja: Starachowice
Cytuj:
(b-a) jest dodatnie (...) Czy dowód jest ok?


Nie do końca, bo b-a jest ujemne a nie dodatnie. Żeby była monotoniczna w całej dziedzinie, to trzeba jeszcze udowodnić że drugi czynnik czyli ab-4 jest mniejszy od zera dla każdego rzeczywistego a i b. Nie da się, bo można wskazać takie wartości a,b dla których wspomniane wyrażenie ab-4 jest dodatnie. Czyli z tego wynika, że funkcja nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, a jest monotoniczna przedziałami. Do formalnego wyznaczenia przedziałów monotoniczności najlepiej jest moim zdaniem użyć rachunku różniczkowego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sie 2012, o 17:10 
Użytkownik

Posty: 1936
Lokalizacja: Warszawa
Tak oczywiście b-a jest ujemne, ale dla mnie to nic nie znaczy - czy dodatnie czy ujemne. Czy dowód jest ok (pomijając ten mały błąd). Ja chcę aby ta funkcja nie była monotoniczna w całej dziedzinie. Jeśli nie będzie monotoniczna w całej dziedzinie to w końcu się powtórzą te wartości. Dobrze myślę?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sie 2012, o 18:01 
Moderator

Posty: 3014
Lokalizacja: Starachowice
Tak, oczywiście.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnic, że pierwiastki nie naleza do licz wym.  karusia1234  5
 dla jakich argumentów...  jackow005  1
 udowodnić nierówność - zadanie 4  vanessa  1
 Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość  Belhitef  3
 wzór funkcji, przedziały monotoniczności, zbiór argumentów  madziunia3322  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl