szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sie 2012, o 12:30 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Warszawa
3^{n}> n^{3}

dla n=1 mamy 3>1 ^{3}=1

1) 3^{n}> n^{3}\implies 3^{n+1}>(n+1) ^{3}= (n+1)(n ^{2}+2n+1)=n ^{3}+3n ^{2}+3n+1

2) 3^{n+1}=3^{n} \cdot 3>n ^{3} \cdot 3=n ^{3}+2n ^{3}=n ^{3} +2n ^{3}+3n ^{2}+3n+1-3n ^{2}-3n-1=

(n+1) ^{3}+2n ^{3}-3n ^{2}-3n-1=.....>(n+1) ^{3}

Nie wiem czy poszedłem dobrą drogą, w każdym bądź razie gubię się mniej więcej w tym momencie.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sie 2012, o 12:43 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Zauważ, że nierówność nie zachodzi dla n=3. Rozważ ją zatem dla n\ge 4.

Aby wykazać nierówność 2n^3>3n^2+3n+1 dla n\ge 4 możesz rozważyć wielomian W(x)=2x^3-3x^2-3x-1 i metodami rachunku różniczkowego wykazać, że na przedziale \langle 4,+\infty) jest to funkcja rosnąca, a wartość W(4) jest dodatnia. W konsekwencji W(x)>0 dla x\ge 4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2012, o 13:41 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Warszawa
Problem z tą indukcją jest taki, że da się ją rozwiązać w prosty sposób bez różniczkowania i wielomianów i ja muszę tak to rozwiązać.

Polecenie brzmi tak:
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n:
3^{n}> n^{3}
Tym razem zrobiłem to trochę inaczej. Pytanie czy to rozwiązanie jest prawidłowe?
dla n=1 mamy 3>1 ^{3}=1
1) 3^{n}> n^{3}\implies 3^{n+1}>(n+1) ^{3}= (n+1)(n ^{2}+2n+1)=n ^{3}+3n ^{2}+3n+1
2) 3^{n+1}=3^{n} \cdot 3>n ^{3} \cdot 3>n ^{3}+3n ^{2}+3n+1

Teraz udowadniam, że faktycznie 3n ^{3}>n ^{3}+3n ^{2}+3n+1

dla n=3 mamy 81>64

1)3n ^{3}>n ^{3}+3n ^{2}+3n+1 \Rightarrow 3(n+1) ^{3} >(n+1) ^{3}+3(n+1) ^{2}+3(n+1)+1

2)3(n+1) ^{3}=3n ^{3} +9n ^{2} +9n+3>n ^{3}+3n ^{2}+3n+1+9n ^{2} +9n+3=

n^{3}+6n ^{2} +12n+4+6n ^{2}>n^{3}+6n ^{2} +12n+4+4=n^{3}+6n ^{2} +12n+8=(n+1) ^{3}+3(n+1) ^{2}+3(n+1)+1

I chyba jest ok jako że 6n ^{2} >4 dla n \in N?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2012, o 15:54 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
z całą pewnością brakuje dowodu dla n=2

6n ^{2} >4 nie będziesz musiał przyjmować na wiarę, jeśli tylko podzielisz stronami przez 6.

Co do reszty: straszny chaos. Ja nic nie ogarniam, choć usilnie próbuję.

skąd na przykład ta oto nierówność:

3n ^{3} +9n ^{2} +9n+3>n ^{3}+3n ^{2}+3n+1+9n ^{2} +9n+3

To jest raczej ćwiczenie niż jakiś bardzo trudna nierówność, więc skup się na porządnym zapisie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2012, o 16:46 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Warszawa
Domyślał się, że chodzi o prawą stronę tej nierówności:
3n ^{3} +9n ^{2} +9n+3>n ^{3}+3n ^{2}+3n+1+9n ^{2} +9n+3
tak więc to: n ^{3}+3n ^{2}+3n+1+9n ^{2} +9n+3
bazuje na tym:
3n ^{3}>n ^{3}+3n ^{2}+3n+1 \Rightarrow 3(n+1) ^{3} >(n+1) ^{3}+3(n+1) ^{2}+3(n+1)+1
Rozpisze teraz powyższa implikację bardziej:
3n ^{3}>n ^{3}+3n ^{2}+3n+1 \Rightarrow 3n ^{3} +9n ^{2} +9n+3 >n^{3}+6n ^{2} +12n+8
I teraz widać, że
L _{1} =3n ^{3}
L _{2}= 3n ^{3} +9n ^{2} +9n+3
P _{1}= n ^{3}+3n ^{2}+3n+1
P _{2}= n^{3}+6n ^{2} +12n+8

L _{1}+9n ^{2} +9n+3=L _{2}

i dlatego potem starałem się udowodnić, że P _{1}+9n ^{2} +9n+3>P _{2}

Sorry za ten nieład w zapisie(5 lat miałem przerwy od matematyki) i dzięki za cierpliwość.

Czy tak to powinno wyglądać z uwzględnieniem Twoich wskazówek:


Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n:
3^{n}> n^{3}
dla n=1 mamy 3>1 ^{3}=1
dla n=2 mamy 9>8
1) 3^{n}> n^{3}\implies 3^{n+1}>(n+1) ^{3}= (n+1)(n ^{2}+2n+1)=n ^{3}+3n ^{2}+3n+1
2) 3^{n+1}=3^{n} \cdot 3>n ^{3} \cdot 3>n ^{3}+3n ^{2}+3n+1

Teraz udowadniam, że faktycznie 3n ^{3}>n ^{3}+3n ^{2}+3n+1

dla n=3 mamy 81>64

1)3n ^{3}>n ^{3}+3n ^{2}+3n+1 \Rightarrow 3(n+1) ^{3} >(n+1) ^{3}+3(n+1) ^{2}+3(n+1)+1
3n ^{3}>n ^{3}+3n ^{2}+3n+1 \Rightarrow 3n ^{3} +9n ^{2} +9n+3 >n^{3}+6n ^{2} +12n+8

2)3(n+1) ^{3}=3n ^{3} +9n ^{2} +9n+3>n ^{3}+3n ^{2}+3n+1+9n ^{2} +9n+3=

n^{3}+6n ^{2} +12n+4+6n ^{2}>n^{3}+6n ^{2} +12n+4+4=n^{3}+6n ^{2} +12n+8=(n+1) ^{3}+3(n+1) ^{2}+3(n+1)+1

6n ^{2} >4 dla n \in N
6n ^{2} >4    /:6
n ^{2} > \frac{2}{3} dla n \in N
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2012, o 00:20 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
teraz rozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2012, o 10:29 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Warszawa
A jak z poprawnością?
Mam jeszcze jedną indukcję polecenie do niej oczywiście jak do powyższej, zrobiłem to tak:
3n> \sqrt{n} +1
1) dla n=1 mamy 3>2
2) 3n> \sqrt{n} +1 \Rightarrow 3(n+1)> \sqrt{n+1}+1
3(n+1)=3n+3> \sqrt{n} +1+3= \sqrt{n} +3+1= \sqrt{n} + \sqrt{9} +1= \sqrt{( \sqrt{n}+ \sqrt{9}) ^{2}   } +1= \sqrt{n+6 \sqrt{n} +9} +1= \sqrt{n+1+6 \sqrt{n} +8} +1= \sqrt{n+1+2(3 \sqrt{n} +4)} +1> \sqrt{n+1} +1

Nie wiem, czy w takiej postaci może to być pozostawione, czy zrobiłem to poprawnie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2012, o 12:13 
Administrator

Posty: 22251
Lokalizacja: Wrocław
Poprawnie (choć na mój gust zrobiłeś niepotrzebnie jakieś 2-3 przekształcenia...).

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja matematyczna - pytanie  ZIELONY  2
 Coś (chyba :P) z indukcja związane  jackass  4
 indukcja  Anonymous  1
 Podzielność przez 14 - indukcja  John Til  6
 Uogólniona nierówność Bernoulliego  Anonymous  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl