szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2012, o 20:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
Zadanie stare, ale nie znalazłem rozwiązania przez kongruencje,.

Cytuj:
Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9


załóżmy, że n+1 jest podzielne przez 3, to w takim razie n+2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 itd.

n+1\equiv0 \pmod3
n+2\equiv1 \pmod3
n+3\equiv2 \pmod3

podnosimy do trzeciej:

(n+1)^3\equiv0 \pmod9
(n+2)^3\equiv1 \pmod9
(n+3)^3\equiv8 \pmod9

tak to powinno wyglądać? Jak to dokończyć zapisując to ładnie w liczbach.


jak n+3 daję resztę 2 przy dzieleniu przez 3, to sześcian n+3 daję resztę 8 przy dzieleniu przez 9. I właśnie z tego korzystam zamieniając \pmod3 na \pmod9 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2012, o 20:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17855
Lokalizacja: Cieszyn
Proponuję prościutkie rozwiązanie:

n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=3(n+1)(n^2+2n+3)

Analizujemy podzielność przez 3, bo przed nawiasami mamy trójkę. Jeśli n jest podzielne przez 3, to trójmian także. Podobnie dla reszty 1, bo n^2 daje resztę 1, 2n daje resztę 2, więc suma jest podzielna przez 3, czego nie zmienia dodanie trójki. Jeśli reszta wynosi 2, to czynnik n+1 jest podzielny przez 3 i po sprawie. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2012, o 21:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
Ok ja to czaje dzięki, ale chciałbym się nauczyć kongruencji chociaż podstaw.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2012, o 21:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17855
Lokalizacja: Cieszyn
Może to i dobry pomysł, jeśli zna się już jakieś rozwiązanie. Ale moje rozwiązanie też zawiera kongruencje. Kongruencja bowiem to nic innego, jak pewna relacja równoważności. Tutaj to przystawanie modulo 9 czy, jak ja zrobiłem, modulo 3. Rzecz opisałem słownie i już.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2012, o 21:17 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2643
Lokalizacja: Warszawa
Albo sprawdź na palcach, że:
(3n)^3 \equiv_9 0 \\ (3n+1)^3 \equiv_9 1 \\ (3n+2)^3 \equiv_9 8
I zauważ, że w Twojej sumie występuje dokładnie po jednej liczbie każdej z powyższych postaci.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2012, o 21:17 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Twoje rozwiązanie denatlu jest niekompletne, musisz je uzupełnić o opis sytuacji, w których 3 \nmid n+1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2012, o 21:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
Sylwka zapisu prawej strony nie za bardzo kojarzę, a 3 \nmid n+1 nie opisze bo tak samo nie wiem co to w ogóle znaczy.


Generalnie, to chodziło mi o to, że w sytuacji jak n podzielę przez x o otrzymam resztę 3, to kongruencje (tak myślałem)-pozwolą mi szybko ustalić jaka jest reszta przy dzieleniu np.n^2, n^3,n^4 i tak dalej przez to samo x albo i nie (nie wiem bo o to też spytałem). O to mi głownie chodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2012, o 21:36 
Użytkownik

Posty: 983
Lokalizacja: Ostrołęka
(3n)^3 \equiv_9 0 to inny zapis (3n)^3\equiv0 \pmod9.

Natomiast 3 \nmid n+1 oznacza "3 nie jest dzielnikiem n + 1", czyli n+1  \neq 3k
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2012, o 21:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
jak 3 \nmid n+1 to 3|n+2 lub 3|n+3 to chyba jasne.

Sylwek to widzę, ale nie wiem jak to zapisać poprawnie. Możesz to napisać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2012, o 22:28 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Jasne, że jasne. Ale musisz o tym wspomnieć.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podzielność przez 9 - zadanie 4  woljako  11
 podzielnosc przez 9  asiaaadg  1
 Podzielność przez 9 - zadanie 3  Marcepan99  2
 Podzielność liczby całkowitej przez 3  shep4rd  2
 Reszta z dzielenia liczby n przez 27  kometaa17  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl