szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 sie 2012, o 14:53 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Warszawa
Dla czworościanu o wierzchołkach A(0,1,2), \ B(3,2,1), \ C(-1,0,2), \ D(2,3,3) wyznaczyć miarę kąta między wysokością wychodzącą z wierzchołka A w trójkącie ABC a ścianą tego czworościanu zawierającą wierzchołki B,C,D. Błagam pomóżcie,bo robiłam to juz chyba na milion sposobów i nie wychodzi.

-- 21 sie 2012, o 17:54 --

Naprawdę nikt nie potrafi zrobić tego zadania?;-(
Podam odpowiedź:

\arcsin\frac{\sqrt {14}}{7}

Na pewno jest prostszy sposób,bo w tym zadaniu chodzi o zastosowanie wzoru na sinus kąta między płaszczyzną a prosta.Wyznaczylam wektor kierunkowy wysokosci i wekor normalny plaszczyzny ,na której leżą te trzy punkty i podstawilam do wzoru,ale nie wychodzi tak jak w odpowiedzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2012, o 17:40 
Użytkownik

Posty: 3573
Lokalizacja: Wrocław
A jak powinno wyjść?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2012, o 17:47 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Spróbuj wyznaczyć kosinus tego kąta. Rozważ trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest wysokość w trójkącie ABC opuszczona z wierzchołka A, a jedną z przyprostokątnych rzut prostopadły tej wysokości na płaszczyznę BCD. Wystarczy znać długość wspomnianej wysokości i długość wspomnianego jej rzutu.

1. Długość wysokości możesz wyznaczyć na wiele sposobów. Np.
i) znaleźć postać parametryczną równania prostej BC i odległość punktu A od tej prostej, jako najkrótszego odcinka łączącego punkt A z dowolnym punktem na prostej BC (w razie kłopotów możesz spojrzeć na moje wypociny na temat odległości punktu od prostej w przestrzeni): tu temat potraktowany ogólnie 286010.htm a tu jeden rozwiązany przykład 200558.htm)


ii) znaleźć długość |AB| oraz wyznaczyć współrzędne wektorów \vec{BA}, \vec{BC}, a następnie \cos\angle(\vec{BA}, \vec{BC})=\frac{\vec{BA}\circ\vec{BC}}{|AB||BC|}; stąd mamy \sin\angle(\vec{BA}, \vec{BC})=\sqrt{1-\cos^2\angle(\vec{BA}, \vec{BC})} (gdyż rozważany kąt jest wypukły, to znak sinusa jest na pewno dodatni); długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A wynosi |AB|\sin\angle(\vec{BA}, \vec{BC}).

2. Z długością rzutu prostopadłego jest łatwiej, bo jest to odległość punktu A od płaszczyzny BCD - potrzeba zatem tylko wyznaczyć wpierw równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty B,C,D.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2012, o 19:44 
Użytkownik

Posty: 3573
Lokalizacja: Wrocław
Mnie wychodzi tak:
\vec{h}=\vec{BA}-\vec{BC}\cdot\left(\frac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{|\vec{BC}|^2}\right)=[3,1,-1]-[-4,-2,1]\cdot\left(\frac{[3,1,-1]\cdot[-4,-2,1]}{(-4)^2+(-2)^2+1^2}\right)=\\
=[3,1,-1]-[-4,-2,1]\cdot\left(-\frac{5}{7}\right)=\left[\frac{1}{7},-\frac{3}{7},-\frac{2}{7}\right]=\frac{1}{7}\cdot[1,-3,-2]\\
\vec{n}=\vec{BC}\times\vec{BD}=[-4,-2,1]\times[-1,1,2]=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-4&-2&1\\-1&1&2\end{vmatrix}=[-5,7,-6]\\
\cos\angle(\vec{h},\vec{n})=\frac{\vec{h}\cdot\vec{n}}{|\vec{h}||\vec{n}|}=-\frac{1}{\sqrt{110}}=-\sin\alpha\\
\alpha=\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{110}}\right)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 22 sie 2012, o 19:09 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Warszawa
Dziękuję ślicznie;-)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kąt między prostą z punktu x,y a osią x bez użycia arctan  atff  1
 Prosta z parametrem - zadanie 2  Eleenth  1
 Znajdz prostą przechodzącą przez punkt A  niuni3k  1
 Równanie płaszczyzna, prosta parametryczna  Androo  11
 prosta - zadanie 5  aniwre  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl