szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: trudne zadanko.
PostNapisane: 2 mar 2007, o 22:40 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Lubień
Witam mam prośbę rozwiązanie pewnego zadanka:

zapisz w postaci iloczynowej: 1 + cos4x + cos8x +...+ cos4nx
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: trudne zadanko.
PostNapisane: 2 mar 2007, o 22:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1094
Lokalizacja: Olesno
\\ 
(cos0 + cos4nx) + (cos4x + cos4(n-1)x)+ ... + (cos2(n-1)x+ cos2(n+1)x)+cos2nx= \\
2cos2nx \ cos2nx + 2cos2nx \ cos2(n-2)x+....+cos2nx= \\
cos2nx(2cos2nx+ 2cos2(n-2)x+....+1)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: trudne zadanko.
PostNapisane: 2 mar 2007, o 23:01 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Lubień
do tego kolegotoi ja doszedłem tylko inaczej zapisiując sobie kolejne 2 wyarzy jako sume cosinusów. i myslę ze to się jeszcze da uprościć. patrzac na te równanie to pewne wyrazy będą się redukować
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: trudne zadanko.
PostNapisane: 10 kwi 2007, o 13:02 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Pszczyna/Wrocław
To zadanie fajnie rozwiązuje się przy użyciu np. liczb zespolonych i ich własności.
Weźmy liczbę zespoloną z=\cos x+i\sin x. Ze wzorów de Moivre'a mamy więc: z^{k}=\cos kx + i\sin kx

Widać więc, że \Re (z^{k})=\cos kx
Mamy więc

S=1+\cos 4x+\cos 8x + ... +\cos 4nx=\Re (1+z^{4}+z^{8}+...+z^{4n})=\Re(\frac{1-z^{4n}}{1-z^{4}})

Teraz wracamy do naszego podstawienia:
S=\Re(\frac{1-(\cos 4xn +i\sin 4nx)}{1-(\cos 4x +i\sin 4x)})

Teraz trochę żmudnych rachunków na funkcjach trygonometrycznych i zadanie się rozwiązuje.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód przez zaprzeczenie - zadanko  kubas89  1
 zadanko z kangura  guzik15  4
 zadanko z algebry  ptasior  1
 wykaz podzielnośc ( trudne)  scr11  2
 Zadanko z matmy NWD  nicol6  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl