szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 wrz 2012, o 13:37 
Użytkownik

Posty: 52
Lokalizacja: C-ce
Jak zrobić takie zadanie:
Mam podane dwie funkcję f(x)=\sqrt{x} i g(y)=\arccos y.
Mam wypisać takie złożenia:
h(t):=(g\circ f)(t) \oraz\ H(t)=(f \circ g)(t)
oraz wyznaczyc dziedzinę i przeciwdziedzinę tych funkcji.

Zrobiłam tyle:
f(y)=x^{2}
g(y)=\arccos y

natomiast:
f(x)=\sqrt{x}
g(x)=\cos x\x \in {\([0, \pi ])

I teraz mam problem bo nie wiem co to jest to t umiem wyznaczyć
(g\circ f) i (f\circ g) ale nie wiem co to jest to t =(
Proszę o pomoc!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2012, o 20:01 
Użytkownik

Posty: 334
Lokalizacja: Polska
t to parametr zmiennej niezależnej tak jak x, y w wcześniejszych definicjach funkcji.

Złożenie to po prostu

\arccos( \sqrt{t} )

oraz

\sqrt{\arccos(t)}

To które jest które zależny od przyjętej konwencji.
Jedna szkoła rozwija znak złożenia tak:
(g\circ f)(t):=f(g(t))
druga odwrotnie tzn:
(g\circ f)(t):=g(f(t))
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2012, o 20:29 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Jacek_Karwatka napisał(a):
To które jest które zależny od przyjętej konwencji.
Jedna szkoła rozwija znak złożenia tak:
(g\circ f)(t):=f(g(t))

No to ta szkoła robi to źle. Akurat tu terminologia jest jednolita i zapis powyższy nie jest używany. Na dwa sposoby to można relacje składać.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 wrz 2012, o 21:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
\arccos\left( \sqrt{t} \right)

D=\left[0,1\right]\ \ \ D^{-1}=\left[0,\frac{\pi}{2}\right]




\sqrt{\arccos(t)}

D=\left[-1,1\right]\ \ \ D^{-1}=\left[0,\sqrt{\pi}\right]
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 wrz 2012, o 06:04 
Użytkownik

Posty: 52
Lokalizacja: C-ce
No dobrze, ale czy ja mogę zrobić tak, że
f(x)=\sqrt x
natomiast
g(x)=\cos x \   \ x \in  [0, \pi  ]
i teraz:
h(t)=g(f(t))= \cos{\sqrt t}  \   \ t \in  [0, \pi  ]
H(t)=f(g(t))=\sqrt{\cos t}

A jeśli nie to dlaczego?
I jeśli ja składam te funkcję to czy nie trzeba je sprowadzić obie do postanie f(x) lub f(y) tylko można sobie tak po prostu je złożyć ? Bo za bardzo nie rozumiem tego powyżej.
Z góry dziękuje za odpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2012, o 06:41 
Użytkownik

Posty: 363
Lokalizacja: Cieszyn
To jest inny przypadek? Bo na początku piszesz o \arccos, a potem o \cos.
Jeśli niepokoi Cię to, że w obu składanych funkcjach masz tak samo oznaczoną zmienną, to niesłusznie.
Składając f \circ g podstawiasz g pod wszystkie wystąpienia zmiennej w f. Wszystkie "iksy" w powstałym wzorze pochodzą zf, więc do konfliktu oznaczeń zmiennej nie dojdzie
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 wrz 2012, o 07:16 
Użytkownik

Posty: 52
Lokalizacja: C-ce
Nie no to jest ten sam przypadek.
Po prostu ja zamiast
g(y)=\arccos y napisałam to g(x)=\cos x \   \ x \in  [0, \pi  ]

Tylko nie wiem czy tak można
bo wtedy obie funkcje bym miała w postaci :
g(x) i f(x)
Ale nie wiem czy to wg jest potrzebne

Sugeruje się wskazówką do zadania:
[\arccos a =b ]  \Leftrightarrow [\cos b=a, b \in  [ 0,  \pi  ] ]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2012, o 08:56 
Użytkownik

Posty: 363
Lokalizacja: Cieszyn
Nie możesz tak zrobić. To jaką literą oznaczysz zmienną w funkcji nie ma znaczenia, możesz ją sobie zmieniać prawie dowolnie.
f(x)=\sqrt{x} znaczy dokładnie to samo co f(y)=\sqrt{y}.
To, że w zadaniu w drugiej funkcji masz g(y), a nie g(x) nic nie znaczy. Spokojnie możesz sobie po obu stronach zastąpić y przez x.

Wskazówka nie jest do samego składania ale wyznaczania dziedziny i przeciwdziedziny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2012, o 09:28 
Użytkownik

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Jan Kraszewski napisał(a):
Jacek_Karwatka napisał(a):
To które jest które zależny od przyjętej konwencji.
Jedna szkoła rozwija znak złożenia tak:
(g\circ f)(t):=f(g(t))

No to ta szkoła robi to źle. Akurat tu terminologia jest jednolita i zapis powyższy nie jest używany. Na dwa sposoby to można relacje składać.

JK


Ja też się spotkałem z podwójną notacją... I to nawet na wykładzie prof. Węglorza...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 wrz 2012, o 10:19 
Użytkownik

Posty: 52
Lokalizacja: C-ce
Dziękuje!
Wreszcie zrozumiałam.
Mam jeszcze wyznaczyć parę obrazów i przeciw obrazów . Jak spróbuje to zrobić sama to napiszę =)

-- 9 wrz 2012, o 12:19 --

A więc miałam wyznaczyć takie obrazy:
1.H \left(  \left[ 0,\frac{1}{2}  \right)  \right)
2.h \left(  \left( \frac{1}{2},1 \right]  \right)

oraz przeciw obrazy:
3.H^{-1} \left(  \left[ \sqrt{\frac{ \pi }{4}},\sqrt {\frac{ \pi }{2}} \right]  \right)
4.h^{-1} \left(  \left[ \frac{ \pi }{2},  \pi\right)\right)

Wyszło mi tak:
1. \left[ \sqrt {\frac{ \pi }{2}},\sqrt{\frac{ \pi }{6} \right)
2. \left( \frac{ \pi }{6}, 1 \right]
3. \left[ \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}},0 \right]
4. \left\{ 0 \right\}
Dobrze??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2012, o 15:31 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Adifek napisał(a):
Ja też się spotkałem z podwójną notacją... I to nawet na wykładzie prof. Węglorza...

No coż, wobec togo argumentu pozostaję bezradny.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2012, o 19:24 
Użytkownik

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Argument jak argument - nie pamiętam już dokładnie kontekstu (to prawie dwa lata temu było...), ale na pewno uczulał na możliwość wystąpienia takiej dwuznaczności (zwłaszcza w starszych podręcznikach). Później któryś z prowadzących także się pytał "jak składamy funkcje", więc coś może być na rzeczy.

http://en.wikipedia.org/wiki/Function_c ... _notations
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2012, o 20:27 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Oczywiście, można rozważać dowolną notację, stwierdzenie o błędzie było z mojej strony zbyt silne. Nie ma tu jednak symetrii - notacja 2. jest powszechnie używana i uznawana za podstawową, co nie znaczy, że w pewnych kontekstach nie może pojawić się notacja 1. Kiedy jednak mówimy o składaniu funkcji bez dodatkowego komentarza, to przyjmujemy, że używamy notacji 2.

Inaczej sytuacja wygląda w przypadku składania relacji, gdzie odpowiednie dwie notacje są równoprawne, dlatego trzeba zawsze zaznaczyć, której używamy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2012, o 08:04 
Użytkownik

Posty: 334
Lokalizacja: Polska
Zgadzam się ze notacja (g\circ f)(t):=g(f(t)) jest bardziej powszechna.
Jest ona (dla mnie) bardziej naturalna. Wystarczy dodać nawiasy i nie zmieniać kolejności funkcji.

Jednak można się spotkać z odwrotnym podejściem. Dlatego czujność rewolucyjna jest wskazana.
Zwolennicy drugiego podejścia zwykle argumentują że zapis (g\circ f) oznacza że na argument najpierw działa przekształcenie g potem na wynik działa przekształcenie f czyli (g\circ f)(t):=f(g(t))
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 złożenie dwóch funkcji  milagros111  1
 Złożenie dwóch funkcji - zadanie 2  Eska92  7
 złożenie dwóch funkcji - zadanie 3  aska2764  2
 złożenie dwóch funkcji - zadanie 4  xxxmgdxxx  1
 Złożenie dwóch funkcji - zadanie 6  bob1000  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl