szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2012, o 18:15 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7440
Lokalizacja: Wrocław
Liczbę Eulera e przyjęło się definiować między innymi na dwa równoważne sposoby:

\mbox{I}. \ e = \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \\ \\ \\ 
\mbox{II}. \ e = \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}

Jak można zauważyć, pierwsza równość wynika z drugiej - wystarczy podstawić x=\frac{1}{n}. Wydawać by się mogło, że druga definicja jest przeto bardziej wygodna, bo można za jej pomocą liczyć ogólniejsze granice, na przykład

\lim_{n \to \infty} \left( 1+ \ctg \left( \frac{\pi}{2} -\frac{1}{n} \right) \right)^{\tg \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{n} \right)} = e.

Jak to w matematyce bywa, korzyści nie są jednak darmowe, a w rzeczywistości obie definicje wymagają takiej samej ilości wysiłku, aby można było z nich korzystać w sposób jednakowy. Przejdźmy więc do konkretów.


Fakt 1. Ciąg e_n = \left(1+\frac{1}{n} \right)^n jest rosnący i ograniczony, więc jest zbieżny.

Dowód.

Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona

(a+b)^n = \sum_{j=0}^n {n \choose j} a^j b^{n-j}

rozpiszmy wyrażenia e_n oraz e_{n+1} w taki sposób:

\left(1+\frac{1}{n} \right)^n ={n \choose 0} \cdot 1+ {n \choose 1} \cdot \frac{1}{n} + {n \choose 2} \cdot \frac{1}{n^2} + {n \choose 3} \cdot \frac{1}{n^3} + \ldots + {n \choose n} \cdot \frac{1}{n^n} = \\ \\ \\ 
=1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{1}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \cdot \frac{1}{n^3} + \ldots + { \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-(n-1))}{n!} \cdot \frac{1}{n^n} } = \\ \\ 
=1+1+\frac{1}{2!} \cdot \frac{n(n-1)}{n^2} + \frac{1}{3!} \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{n^3} + \ldots + \frac{1}{n!} \cdot \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-(n-1))}{n^n} = \\ \\ 
=1+1+\frac{1}{2!} \cdot \left(1-\frac{1}{n} \right) + \frac{1}{3!} \cdot \left(1-\frac{1}{n} \right) \left(1-\frac{2}{n} \right) + \ldots + \frac{1}{n!} \cdot \left(1-\frac{1}{n} \right) \left(1-\frac{2}{n} \right) \left(1-\frac{3}{n} \right) \cdots \left(1-\frac{n-1}{n} \right),\\ \\ \\ \\ 
\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = 1+1+\frac{1}{2!} \cdot \left(1-\frac{1}{n+1} \right) + \frac{1}{3!} \cdot \left(1-\frac{1}{n+1} \right) \left(1-\frac{2}{n+1} \right) + \\ \\ \\ 
+ \ldots + \frac{1}{n!} \cdot \left(1-\frac{1}{n+1} \right) \left(1-\frac{2}{n+1} \right) \left(1-\frac{3}{n+1} \right) \cdots \left(1-\frac{n-1}{n+1} \right) + \\ \\ \\ 
+\frac{1}{(n+1)!} \cdot \left(1-\frac{1}{n+1} \right) \left(1-\frac{2}{n+1} \right) \left(1-\frac{3}{n+1} \right) \cdots \left(1-\frac{n-1}{n+1} \right) \left(1-\frac{n}{n+1} \right).


Można zauważyć, że dla każdego k=2, 3, 4, \ldots, n współczynnik

\left(1-\frac{1}{n} \right) \left(1-\frac{2}{n} \right) \left(1-\frac{3}{n} \right) \cdots \left(1-\frac{k-1}{n} \right)

przy ułamku \frac{1}{k!} w wyrażeniu e_n jest mniejszy, niż odpowiedni współczynnik

\left(1-\frac{1}{n+1} \right) \left(1-\frac{2}{n+1} \right) \left(1-\frac{3}{n+1} \right) \cdots \left(1-\frac{k-1}{n+1} \right)

w wyrażeniu e_{n+1}. Ponadto, w e_{n+1} mamy dodatkowy składnik

\frac{1}{(n+1)!} \cdot \left(1-\frac{1}{n+1} \right) \left(1-\frac{2}{n+1} \right) \left(1-\frac{3}{n+1} \right) \cdots \left(1-\frac{n-1}{n+1} \right) \left(1-\frac{n}{n+1} \right).

Wnioskujemy stąd, że e_n < e_{n+1}.

Z rozpisania wynika też, że

e_n <1+1+\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \ldots + \frac{1}{n!} = \\ \\ 
=1+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots (n-1) \cdot n} \le \\ \\ 
\le 1+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} = 1+ \frac{1- \left( \frac{1}{2} \right)^n}{1-\frac{1}{2}} < 1+\frac{1}{\frac{1}{2}} = 3.

\left( e_n \right) jest więc rosnący i ograniczony z góry przez 3, więc jest zbieżny. \blacktriangledown


Teraz, skoro wiemy już, że ciąg ten jest zbieżny, możemy śmiało przyjąć definicję \mbox{I}:

e=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n.


Fakt 2. Funkcja g: \RR_+ \to \RR dana wzorem

g(x) = \left(1+\frac{1}{x} \right)^x

jest rosnąca.

Dowód.

Niech x_1, x_2 \in \RR_+ oraz x_1<x_2. Wtedy 0<\frac{x_1}{x_2}<1, zatem na mocy nierówności Bernoulliego

\left(1+\frac{1}{x_1} \right)^{x_1} = \left(1+\frac{1}{x_1} \right)^{\frac{x_1}{x_2} \cdot x_2} < \left(1+ \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{1}{x_1} \right)^{x_2} = \left(1+\frac{1}{x_2} \right)^{x_2}. \blacktriangledown

Uwaga! Z powyższego dowodu wynika w szczególności monotoniczność ciągu \left( e_n \right).


Lemat 3. \lim_{x \to 0^+} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e.

Dowód.

Ustalmy \varepsilon>0. Skoro

e=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n,

to istnieje takie N_0 \in \mathbb N, że gdy n \ge N_0, to

\left| \left(1+\frac{1}{n} \right)^n -e \right|< \varepsilon.

Weźmy dowolny x \in \left(0, \frac{1}{N_0} \right). Skoro \frac{1}{x} > N_0, to

(1+x)^{\frac{1}{x}}=\left(1+ \frac{1}{\frac{1}{x}} \right)^{\frac{1}{x}} > \left(1+\frac{1}{N_0} \right)^{N_0}>e-\varepsilon,

bo, na mocy faktu 2, funkcja \left(1+\frac{1}{x} \right)^x jest rosnąca na \RR_+.
Jednocześnie, istnieje takie m \in \mathbb N, że \frac{1}{x}<m, a co za tym idzie

(1+x)^{\frac{1}{x}} < \left(1+\frac{1}{m} \right)^m < e,

przy czym druga nierówność wynika z faktu, że monotoniczny ciąg zbieżny jest ograniczony przez swoją granicę. Otrzymaliśmy więc, że dla x \in \left (0, \frac{1}{N_0} \right) jest

e-\varepsilon < (1+x)^{\frac{1}{x} } < e,

zatem \lim_{x \to 0^+} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e. \blacktriangledown


Lemat 4. \lim_{x \to 0^-} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e.

Dowód.

Gdy x \to 0^{-}, to \frac{-x}{1+x} \to 0^+, zatem

\lim_{x \to 0^-} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{1}{1+x} \right)^{\frac{1}{-x}} = \lim_{x \to 0^-} \left( 1+\frac{-x}{1+x} \right)^{\frac{1+x}{-x} + 1} = \\ \\ = \lim_{x \to 0^-} \left( 1+\frac{-x}{1+x} \right)^{\frac{1+x}{-x}} \cdot \left( 1+\frac{-x}{1+x} \right) = e \cdot \left( 1+\frac{0}{1+0} \right) = e. \ \blacktriangledown


Twierdzenie. \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e.

Dowód.

Wynika to natychmiast z dwóch poprzednich lematów. \blacktriangledown


Dopiero w tym momencie możemy korzystać z faktu, że e= \lim_{n \to \infty} \left(1+a_n \right)^{\frac{1}{a_n}} dla dowolnego ciągu \left( a_n \right) zbieżnego do zera i o niezerowych wyrazach. Gdybyśmy na początku w miejsce definicji \mbox{I} przyjęli definicję \mbox{II}, niestety należałoby pokazać, że owa granica istnieje, a to mogłoby być niewiele łatwiejsze od drogi, którą dopiero co przebyliśmy.
Na zakończenie zaprezentuję dwie podobne granice, których sposoby liczenia odrobinę różnią się ze względu na potrzebną wiedzę.


1. \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{3n} \right)^{3n}=e.

\left(1+\frac{1}{3n} \right)^{3n} = e_{3n} oraz \lim_{n \to \infty} e_n = e, więc granica podciągu \left( e_{3n} \right) musi być taka sama.


2. \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{7}{2n} \right)^{\frac{2n}{7}} = e.

Tu niestety nie ma żadnej możliwości skorzystania z ciągu e_n, więc do uzasadnienia powyższej równości potrzebujemy powołać się na co najmniej fragment przedstawionych w tym artykule faktów i lematów.


Wszelakie uwagi na PW bardzo mile widziane.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyprowadzenia pochodnych ważniejszych funkcji  jasny  3
 Zbieżność ciągu o skończonej wariacji (+definicja)  bolo  0
 Pochodna superpozycji funkcji (funkcji złożonej) w punkcie  bolo  0
 Całkowanie funkcji wymiernych metodą Ostrogradskiego  luka52  0
 asymptoty wykresu funkcji - zadanie 3  lukasz1804  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl