szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2012, o 00:35 
Użytkownik

Posty: 11
Witam szanowne gremium ludzi reprezentujących polską myśl techniczną:) Mam problem z takim o to zadaniem z geometrii analitycznej:

Znajdź odległość między prostymi
L_1:  x=3+t, y=1-t, z=2+2t \\
L_2:  x=-t, y=2+3t, z=3t

Korzystałem z pomocy udzielonej w tym poradniku (zadanie VII) i oto moje wypociny:

1) Odczytuje wektory kierunkowe podanych prostych:

{U_{L_1}= \left[ 1,-1,2 \right]
{U_{L_2}= \left[ -1,3,3 \right]

Wektory nie są równoległe więc przecinają się lub są zwichrowane.

Odczytuje dowolne punkty P_1, P_2 należące odpowiednio do prostych L_1 i L_2:

P_{1}= \left( -3,1,-1 \right)
P_{2}= \left( 0,- \frac{2}{3} ,0 \right)

Buduje macierz, której pierwszym wierszem jest wektor \vec{P_1P_2}= \left[ 0- \left( -3 \right) ,- \frac{2}{3}-1,0- \left( -1 \right)  \right] = \left[ 3,- \frac{5}{3},1 \right] a pozostałymi dwoma wierszami są wektory kierunkowe rozważanych prostych, i obliczam jej wyznacznik:

\begin{bmatrix} 3&- \frac{5}{3} &1\\1&-1&2\\-1&3&3\end{bmatrix}\right|=-16 \frac{2}{3}\neq 0

Wyznacznik macierzy jest różny od zera, co oznacza, że proste są zwichrowane. Zatem staram się znaleźć płaszczyznę równoległą do obu tych prostych i zawierającą prostą l. Jej wektor normalny obliczam jako:

\vec{N}=\vec{U_{L_1}} \times \vec{U_{L_2}}= \left[ -9,5,2 \right]

Do szukanej płaszczyzny należy P_2, w związku z czym możemy zapisać równanie szukanej płaszczyzny jako:

-9 \left( x-0 \right)  + 5 \left( y+ \frac{2}{3} +2 \left( z-0 \right) =-9x+5y+2z+ \frac{10}{3} =0

Dalej powinienem znaleźć szukaną odległość między prostymi jako odległość dowolnego z punktów prostej L_1 (np. P_1) od wyznaczonej płaszczyzny ale nie do końca jestem pewien swoich obliczeń i sposobu użycia wzoru na obliczenie odległości do punktu do płaszczyzny. Czy ktoś mógłby mi pomóc w tych obliczeniach? Dla wprawnego matematyka to zapewne sprawa krótka i banalna, dlatego liczę na dobrą duszę która mnie oświeci:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2012, o 02:02 
Użytkownik

Posty: 3559
Lokalizacja: Wrocław
\vec{u}_1=[1,-1,2]\\
\vec{u}_2=[-1,3,3]\\
\vec{u}_1\nparallel\vec{u}_2\\
P_1=L_1(0)=(3,1,2)\\
P_2=L_2(0)=(0,2,0)\\
\vec{n}=\vec{u}_1\times\vec{u}_2=\begin{bmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&2\\-1&3&3\end{bmatrix}=[-9,-5,2]\\
d=\frac{\left| \vec{n}\cdot\vec{P_2P_1}\right| }{\left| \vec{n}\right| }=\frac{\left| [-9,-5,2]\cdot[3,-1,2]\right| }{\sqrt{9^2+5^2+2^2}}=\frac{18}{\sqrt{110}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2012, o 08:25 
Użytkownik

Posty: 11
Dzięki wielkie Octahedron!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Współrzędne 3 punktu oddalonego o pewną odległość od punktu1  Dym71  8
 Odległość punktu od płaszczyzny - zadanie 3  qwass  1
 znajdz punkt C jednakowo odległy  monikap7  1
 Odległość punktu od danej prostej  rumun1990  3
 pole figury zawartej między wykresami  beatka2093  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl