szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 wrz 2012, o 13:06 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Kraków
Dany jest punkt A=\left( 0,3,1\right) zaś punkty B,C,D są obrazami punktu A poprzez symetrię odpowiednio względem punktu O=\left( 1,1,1\right), prostej l:\left( x,y,x\right)+\left( 5,0,1\right) +t\left( 1,0,2\right), t \in R i płaszczyzny \pi : 2x-2y+z-4=0. Obliczyć objętość czworościanu ABCD.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2012, o 20:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 642
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
B:

\left[ 1,1,1 \right]  =  \left[ \frac{0+a}{2}, \frac{3+b}{2}, \frac{1+c}{2} \right]

B \left( 2, -1, 1 \right)

C:

Niech \left( a,b,c \right) - rzut prostokątny punktu A na daną prostą

\left[ a-0, b-3, c-1 \right]  \circ  \left[ 1,0,2 \right]  = 0

a + 2c - 2 = 0, z drugiej strony dla pewnego t \in \mathbb R mamy a = 5 + t, c = 1 + 2t, wstawiamy te wyrażenia do wcześniejszego wzoru i dostajemy t=-1. Zatem \left( a,b,c \right)  =  \left( 4,0,-1 \right).

\left[ 4,0,-1 \right]  =  \left[ \frac{0+x}{2}, \frac{3+y}{2}, \frac{1+z}{2} \right]

C \left( x,y,z \right)  = C \left( 8, -3, -3 \right)

wreszcie prosta prostopadła do płaszczyzny \pi : 2x-2y+z-4=0 i przechodząca przez punkt A ma równanie \left[ 2,-2,1 \right] t +  \left[ 0,3,1 \right]  =  \left[ 2t, 3-2t, 1+t \right].

Wstawiamy do równania na \pi odpowiednio 2t, 3-2t, 1+t i dostajemy t=1 i punkt przecięcia \left( 2,1,2 \right)

\left[ 2,1,2 \right]  =  \left[ \frac{0+x}{2}, \frac{3+y}{2}, \frac{1+z}{2} \right]

D \left( x,y,z \right)  = C \left( 4, -1, 3 \right)

Pozostaje wypełnić wzór na objętość czworościanu
V=\frac{1}{6}\left| \left( \vec{AB} \circ  \left( \vec{AC} \times \vec{AD} \right) \right|
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 wrz 2012, o 07:40 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Kraków
Dziękuje bardzo za pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 objętość czworościanu - zadanie 3  johanneskate  2
 Objętość czworościanu - zadanie 11  beavisboss  2
 Objętość czworościanu - zadanie 12  Massami  1
 Objętosc czworoscianu  Olowokandi  2
 Objetośc czworościanu  enriqe  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl