szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2012, o 22:40 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Łódź
Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą k i zawierającą punkt "A".
Sprawdź czy punkt B należy do płaszczyzny.

A(2,3,1)

B(0,0,0)

k: x+y=1 \wedge 2x+y-z=2


Zasadniczo mam tylko problem z interpretacją zapisu tej prostej, klamrę zastąpiłem "i" jednak to logicznie na to samo wychodzi :P

Czyli jak przejść od takiej prostej do typowego równania prostej, czy to parametrycznego czy kierunkowego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2012, o 22:54 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
Do równania parametrycznego przejdziemy łatwo znajdując rozwiązanie parametryczne układu równań definiującego prostą :) Dalej potrzeba nam wektora \vec{n} prostopadłego do płaszczyzny. Bierzemy wektor równoległy do prostej k oraz wektor \overrightarrow{SA} o początku w jakimkolwiek punkcie S leżącym na prostej k. Wektor \vec{n} jest ich iloczynem wektorowym. Dalej piszemy już standardowo równanie płąszczyzny przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do wektora \vec{n}.

Dobranoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2012, o 23:06 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Łódź
Mógł bym zobaczyć na przykładzie jak przejść do układu parametrycznego? :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2012, o 07:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
Rozwiąż układ dwóch równań z trzema niewiadomymi:

\left\{
 \begin{aligned}
 x+y\phantom{\;-z}&=1\\ 2x+y-z&=2
\end{aligned}
\right.

Rozwiązanie będzie zależne od jednego parametru. Przedstawia ono równanie parametryczne prostej k.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2012, o 18:13 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Łódź
Naprawdę nie wiem jak rozwiązać to równanie, próbuję za pomocą macierzy ale nie wychodzi...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2012, o 18:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
A jak to robisz macierzowo?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2012, o 14:00 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Łódź
\left[\begin{array}{cccc}1&1&0&1\\2&1&-1&2\end{array}\right]

w_{2}-w_{1}

\left[\begin{array}{cccc}1&1&0&1\\1&0&-1&1\end{array}\right]

I nie wiem jak to dalej ruszyć, nie wiem co zrobić żeby wyznaczyć współczynniki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2012, o 14:19 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
Wyznaczyć rzędy macierzy głównej i rozszerzonej, sprawdzić czy są identyczne, dobrać odpowiednią liczbę parametrów i rozwiązać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2012, o 16:06 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Łódź
Rozwiązałem inne zadanie, ale o to samo chodzi:

k: \left\{ \begin{aligned}x-2z=5 \\ x-y-z=2  \end{aligned} \right.

A(2,3,1); B(0,0,0)

Znajdź płaszczyznę zawierającą prostą k i punkt A oraz sprawdź czy B należy do tej płaszczyzny.

Znajduję dwa punkty należące do k:
A(1,1,-2); B(3,2,-1)

Obliczam wektor \vec{AB}=[2,1,1]

W ten sposób otrzymuję równania:

\left\{ \begin{aligned}x=x_{0} +2t \\ y=y_{0} +t\\z=z_{0} +t  \end{aligned} \right.

Podstawiam punkt należący do prostej i otrzymuję równanie parametryczne (które w sumie jest zbędne bo potrzebuję wektora kierunkowego prostej):

\left\{ \begin{aligned}x= 1 +2t \\y=1 +t\\z=-2 +t  \end{aligned} \right.


Teraz korzystam z iloczyny wektorowego i znajduję wektor prostopadły do \vec{AB}
\vec{AB}\circ\vec{U}=0

[u_{x},u_{y},u_{z}]\circ[2,1,1]=0

2u_{x}+1u_{y}+1u_{z}=0
\vec{U}=[1,-1,-1]
Mogły by być też inne wektory prostopadłe do prostej k, czyli każdy wektor o współrzędnych proporcjonalnych do wektora \vec{U}.

Wyliczony wektor \vec{U} jest więc wektorem normalnym płaszczyzny.
Równanie płaszczyzny przyjmuję postać: 1x-1y-1z +D=0
Podstawiam punkt punkt który ma należeć do płaszczyzny: A(2,3,1)
2-3-1+D=0
więc D=2
Ostatecznie równanie płaszczyzny: x-y-z+2=0

Sprawdzam czy B(0,0,0) należy do płaszczyzny (podstawiam pod równanie):
0-0-0-2=0

Otrzymujemy sprzeczność zatem punkt B nie należy do płaszczyzny, to był by koniec zadania.
Jestem tylko ciekaw czy nie popełniłem nigdzie błędu bądź czy sam sposób rozwiązania nie jest błędny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2012, o 21:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
Zgodnie z prośbą z PW: przedstawione rozwiązanie dotyczące znalezienia postaci parametrycznej równania prostej danej w postaci krawędziowej jest poprawne, ale nieco zawiłe, gdyż i tak wymaga rozwiązania układu równań. Albo jakiegoś dopasowania punktów. Można i tak. Można też wyznaczyć rozwiązanie parametryczne tego układu równań, co jest zadaniem bardzo prostym po kursie algebry liniowej. Celowo nie rozwiązałem tego układu, aby pytający przypomniał sobie, jak się to robi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2012, o 21:43 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Łódź
Dziękuję za odpowiedź u udzieloną pomoc.
Reszta rozumowania dotycząca znajdowania płaszczyzny oraz badania punktu B też jest poprawna?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2012, o 21:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
Tak. Modulo rachunki, których nie sprawdzałem.

Wartość D można też otrzymać bardziej bezpośrednio:

(x-x_A)-(y-y_A)-(z-z_A)=0,

czyli

(x-2)-(y-3)-(z-1)=0.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Wyznacz punkt przecięcia się prostej z okręgiem  Anonymous  5
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty  mnk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl