szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2012, o 19:06 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Poznań
Prosta l jest wspólną krawędzią dwóch płaszczyzn określonych równaniami x+y+z=2 i x=1. Podaj ukłąd równań opisujących prostą, która jest rzutem prostokątnym prostej l na płaszczyznę YOZ.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2012, o 22:57 
Użytkownik

Posty: 72
Lokalizacja: Warszawa
\begin{cases} x+y+z=2 \\ x=1 \end{cases}

Obliczam współrzędne punktu P leżącego na prostej l:
x=1  \wedge np. \ y=0  \Rightarrow 1+z=2 \Rightarrow z=1 \\ P\left( 1,0,1\right)

Obliczam wektor kierunkowy \vec{v _{l} } prostej l:
\left[ 1;1;1\right]  \times \left[ 1;0;0\right]  = \left[ 0;1;-1\right] \\ \vec{v _{l} }=\left[ 0;1;-1\right]

Wyznaczam równanie parametryczne prostej l:
\begin{cases} x=1 \\ y=t \\ z=-t+1 \end{cases}, t \in R

Wyznaczam równanie płaszczyzny \pi _{Y0Z}, przecinającą prostą l:
Ax+D=0
Podstawiam za niewiadome y,zwartości z równania parametrycznego prostej l:
A+D=0 \Rightarrow D=-A \\
\pi _{Y0Z} : \ x-1=0 \\
\vec{n _{\pi _{Y0Z}} }=\left[ 1;0;0\right]

Wyznaczam równanie płaszczyzny \pi _{2}, zawierającą prostą l:
\vec{n _{\pi _{2} } } = \vec{n _{\pi _{Y0Z}} } \times \vec{v _{l} } = \left[ 1;0;0\right] \times \left[ 0;1;-1\right] = \left[ 0;1;1 \right] \\ 
\pi _{2} : \ 0x+1y+1z+D=0 \\
 \begin{cases} P\left( 1,0,1\right) \\ \pi _{2} : \ 0x+1y+1z+D=0 \end{cases}   \Rightarrow D=-1 \\
\pi _{2} : \ y+z-1=0

Płaszczyzny \pi _{Y0Z} i \pi _{2} } wyznaczają rzut prostopadły prostej l na płaszczyznę \pi _{Y0Z}:
\begin{cases} x-1=0 \\ y+z-1=0 \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2012, o 23:15 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Phobos71 napisał(a):
\begin{cases} x-1=0 \\ y+z-1=0 \end{cases}
Rzut dowolnej prostej na płaszczyznę OYZ powinien leżeć na tej płaszczyźnie - i już chociażby z tego powodu widać, że z wynikiem jest coś nie tak. Inny powód jest taki, że to co wyznaczyłeś, to w dalszym ciągu wyjściowa prosta l.

Ja proponuję rozumowanie następujące: z definicji rzut prostej (nieprostopadłej do płaszczyzny rzutowania) to przecięcie płaszczyzny rzutowania z płaszczyzną prostopadłą do płaszczyzny rzutowania i zawierającą wyjściową prostą.

Płaszczyzna rzutowania to oczywiście x=0. Pęk płaszczyzn zawierających prostą l to:
a\cdot (x+y+z-2)+b\cdot (x-1)=0
czyli:
(a+b)x +ay +az -2a-b=0
Wektor normalny takiej płaszczyzny to (a+b,a,a) i aby była ona prostopadła do płaszczyzny rzutowania, to musi on być prostopadły do wektora normalnego płaszczyzny rzutowania (1,0,0). Stąd oczywiście a=-b, więc równanie szukanej płaszczyzny prostopadłej to y+z-1=0.

Ostatecznie więc nasz rzut to:
\begin{cases} x=0\\ y+z-1=0\end{cases}

Do wyniku można też dojść inaczej, jeśli zauważymy, że prosta l jest równoległa do płaszczyzny rzutowania - wtedy wystarczy zapisać ją w postaci:
\begin{cases} x=1\\ y+z-1=0\end{cases}
i stwierdzić, że po przesunięciu równoległym do płaszczyzny OYZ będzie miała postać jak wyżej.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2012, o 12:35 
Użytkownik

Posty: 72
Lokalizacja: Warszawa
Qń napisał(a):
Płaszczyzna rzutowania to oczywiście x=0

Ogólne równanie płaszczyzny wygląda tak: \pi: \ Ax+By+Cz+D=0, wektorem prostopadłym do płaszczyzny Y0Z, jest wektor \vec{n}=\left[ 1;0;0\right]. Równanie płaszczyzny Y0Z przyjmuje więc postać: \pi: \ x+D=0. Skąd wiesz, że D=0 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2012, o 12:49 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Phobos71 napisał(a):
Równanie płaszczyzny Y0Z przyjmuje więc postać: \pi: \ x+D=0. Skąd wiesz, że D=0 ?
Płaszczyzna OYZ to z definicji płaszczyzna x=0. Bo to płaszczyzna rozpięta na osiach OY i OZ.

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wzory: na dwusieczna w trójkącie oraz na prostą prostopa  Anonymous  1
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 Wzór na prostą pokrywającą się z wektorem  Anonymous  3
 Dla jakiego param. a okrąg, prosta nie mają wspólnych pk  epimeteusz  2
 Wzór - prosta równoległa do wektora przechodząca przez  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl