szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2012, o 18:44 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Warszawa
Witam.
Zastanawiam się nad poprawnym rozwiązaniem zadania którego treść brzmi następująco: Udowodnij że suma kwadratów dwóch liczb, z których jedna przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, a druga resztę 1 jest podzielna przez 5 (bez reszty).

Nietrudno jest chyba zauważyć, że liczba podzielna przez 5 z resztą trzy ma w rzędzie jedności cyfrę 3 lub 8, a podzielna z resztą 1 cyfrę 1 lub 6, a gdy podnosimy liczbę do kwadratu to ostatnią cyfrą tej liczby jest ostatnia cyfra potęgi z rzędu jedności, a suma potęg każdych dwóch cyfr z pośród 1,3,8 i 6 ma w rzędzie jedności 0 lub 5. Chyba że się mylę, nie wykluczam. Ale czy jeśli się nie mylę to wystarczy to tak udowodnić czy jest jakiś bardziej matematyczny sposób?
z góry dziękuję za odp.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2012, o 18:54 
Użytkownik

Posty: 384
Lokalizacja: Lodz
Liczba ktora przy dzieleniu przez 5 daje reszte 3 ma postac 5n+3 \iff n \in \mathbb{Z}
Liczba ktora przy dzieleniu przez 5 daje reszte 1 ma postac 5x+1 \iff x \in \mathbb{Z}

Teraz rozważmy \left( 5n+3\right)^{2} + \left( 5x+1\right)^{2} = 25n^{2} + 30n + 9 + 25x^{2} + 10x + 1 = 25n^{2} + 25x^{2} + 30n + 10x + 10 = 5  \cdot \left( 5n^{2} + 5x^{2} + 6n + 2x + 2\right)
Liczba 5n^{2} + 5x^{2} + 6n + 2x + 2 \in \mathbb{Z} natomiast cała szukana przez ciebie liczba dzieli sie przez 5
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2012, o 19:08 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Warszawa
Dziękuję bardzo, zacząłem to robić tak jak Ty ale nie wpadłem na to, aby wyciągnąć 5 przed nawias a potem wyciągnąć z tego wniosek, więc zacząłem kombinować, co w sumie nie wyszło błędnie, ale też nie tak jak chciałem. Dzięki, bo o taką odp. mi chodziło
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl