szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 paź 2012, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 184
Lokalizacja: Warszawa
Mam ogromny problem z takim zadaniem:

Wyprowadzić wzory i udowodnić:

-1 {n \choose 1} +2  {n \choose 2} -3 {n \choose 3} - ...  + (-1)^n n {n \choose n} = 0

Próbowałam udowodnić to za pomocą indukcji ale nie bardzo wychodzi :(
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 paź 2012, o 20:22 
Administrator

Posty: 22627
Lokalizacja: Wrocław
ct985 napisał(a):
Próbowałam udowodnić to za pomocą indukcji ale nie bardzo wychodzi :(

Nic dziwnego, bo wzór jest nieprawdziwy. Dla n=1 dostajesz -1=0. Może zapomniałaś jakiegoś założenia?

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 paź 2012, o 21:09 
Użytkownik

Posty: 184
Lokalizacja: Warszawa
Faktycznie, dziękuję, ale chyba już dla n > 1 jest dobrze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 paź 2012, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Ze zbioru A=\{1,2,\ldots,n\} wybieramy podzbiór X oraz element x\in X. Na ile sposobów możemy to zrobić, aby X miał parzystą liczbę elementów? A na ile nieparzystą?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 paź 2012, o 01:22 
Użytkownik

Posty: 184
Lokalizacja: Warszawa
A czy można to udowodnić indukcyjnie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2012, o 17:31 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Tak, można. Można też przekształcić i zwinąć do wzoru dwumianowego.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 paź 2012, o 18:40 
Użytkownik

Posty: 184
Lokalizacja: Warszawa
Może jakaś wskazówka jak, bo zupełnie nie wiem jak się za to zabrać :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2012, o 18:43 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Wskazówka jest taka, żeby zacząć.

Jak już zaczniesz, to następna wskazówka: skorzystaj ze wzoru \binom{n+1}k=\binom nk+\binom n{k-1} (jeśli zdecydujesz się na dowód indukcyjny).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 paź 2012, o 20:13 
Użytkownik

Posty: 184
Lokalizacja: Warszawa
No tak ale nadal nie wychodzi :(

W dowodzie indukcyjnym rozpisuję tak:
-1  {n+1 \choose 1} +2  {n+1 \choose 2} - ... + (-1)^{n+1}(n+1) {n+1 \choose n+1} =
-1 \left(  {n \choose 1} +  {n \choose 0} \right) +2 \left(  {n \choose 2}  +  {n \choose 1} \right)- ...+ (-1)^{n}n \left(  {n \choose n} +  {n \choose n-1} \right) + (-1)^{n+1}(n+1)  {n+1 \choose n+1}

Ale wtedy nie redukuje mi się ten oststni iloczyn? I zostaje:
-  {n \choose 0} +  {n \choose 1}  - ... + (-1)^{n+1}(n+1) {n+1 \choose n+1}

-  {n \choose 0} +  {n \choose 1} -...=0

Ale pozostaje (-1)^{n+1}(n+1) {n+1 \choose n+1}

A poza tym w ogóle nie korzystam z założenia. Czy mogę prosić o jakąś podpowiedz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2012, o 20:58 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Rzeczywiście nie trzeba tu korzystać z założenia indukcyjnego. Ja od razu dzieliłem całą sumę na dwie sumy i korzystałem z założenia indukcyjnego, ale tak jak Ty robisz, jest prościej. Czyli nie jest to prawdziwie indukcyjny dowód.

Ostatni wyraz też możesz rozpisać, jak pozostałe: \binom{n+1}{n+1}=\binom{n}{n}+\binom{n}{n+1}=\binom{n}{n}.

Potrzebną równość -\binom{n}0+\binom{n}1-\ldots+(-1)^{n+1}\binom{n}{n}=0 można udowodnić w taki sam sposób, rozpisując współczynniki Newtona ze wzoru rekurencyjnego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód indukcyjny - zadanie 64  Chewbacca97  11
 dowód z dwumianem Newtona  Barttuss  1
 Dowód z indukcją wsteczną  pi0tras  3
 dowód przez indukcję - zadanie 2  anetaaneta1  0
 Dowód indukcyjny danej równości  Spokojny_  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl