szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2012, o 20:21 
Użytkownik

Posty: 104
Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry zapisu dziesiętnego liczby
2 ^{5 ^{1} } + 2 ^{5 ^{2} } + 2 ^{5 ^{3} } +...+ 2 ^{5 ^{2009} } + 2 ^{5 ^{2010} }

Myślałem nad czymś takim:
2 ^{5} \equiv 2 (\mod 10)
2 ^{10} \equiv 4 (\mod 10)
2 ^{15} \equiv 8 (\mod 10)
2 ^{20} \equiv 6 (\mod 10)
2 ^{25} \equiv 2 (\mod 10)
itd.


2010:5=402

Zatem suma jedności
100 \cdot 2+100 \cdot 4+100 \cdot 8+100 \cdot 6+2+4=2006

2006  \mod  100=6
Czy 06 to moje ostatnie dwie cyfry tej liczby?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2012, o 22:07 
Użytkownik

Posty: 449
Lokalizacja: Warszawa
Ja mam takie rozwiązanie „na piechotę” może niezbyt fachowe, ale:

Po pierwsze można przekształcić wzór z zadania 2 ^{5 ^{1} } + 2 ^{5 ^{2} } + 2 ^{5 ^{3} } +…+ 2 ^{5 ^{2009} } + 2 ^{5 ^{2010} }=(2^5)^5+((2^5)^5)^5+….

Po drugie 2^5 \mod 100 = 32 ale także (2^5)^5 \mod{100} = 32. Ponieważ cyfry setek i większe nie mają wpływu na cyfrę dziesiątek i jedności przy kolejnych mnożeniach przez 32, to wiadomo, że dla każdego n \in N, 2^{5^n} \mod 100 = 32.

Tak więc wszystkie składniki będą kończyć się cyframi 32. Składników będzie 2010, więc należy się zastanowić, jakie są dwie ostatnie cyfry iloczynu 32 \cdot 2010 = 64 320. Oczywiście 20.

Mam nadzieję, że nie ma tu błędu ale sprawdź to proszę uważnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2012, o 22:13 
Użytkownik

Posty: 104
Tak już mam rozwiązanie po prostu miałem błąd związany z tym, że to miał być \mod 100 a nie \mod 10 + to nie były potęgi potęg liczby dwa, więc się ich nie wymnażało, a należało podnieść 5 do danej potęgi, wynik dostałem ten sam. Dzięki wielkie! :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zmieniamy cyfry dziesiątek i jednosci - co to za liczba ?  Anonymous  3
 Wyznacz liczby 5-cio cyfrowe podzielne przez 36  tuti  2
 przedostania liczba cyfry 2^303 / 2^79  qwertyqaz1  9
 Wyznacz ostatnia cyfre danej liczby.  tomik  2
 Znajdz dwie liczby jeśli wiadomo że....  mikao  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl