szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2012, o 01:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 428
Mam za zadanie znaleźć współrzędne punktu S=(x,y), będącego środkiem okręgu wyznaczonego (jednoznacznie) przez 3 punkty:
A_{1}=(x_1,y_1)\\A_{2}=(x_2,y_2)\\A_{3}=(x_3,y_3)
Zakładamy, że A,B,C są niewspółliniowe (a więc w szczególności A_1 \neq A_2  \wedge A_2 \neq A_3 \wedge A_1 \neq A_3). Można zauważyć, że w takim razie problem polega na wyznaczeniu współrzędnych punktu będącego środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC). Można więc kombinować coś z symetralnymi, ale z tego co sprawdzałem to liczenia jest co najmniej tyle samo ile poniższym sposobem.

\begin{cases} (x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 = r^2 \\ (x_2 - x)^2 + (y_2 - y)^2 = r^2 \\ (x_3 - x)^2+ (y_3 - y)^2 = r^2\end{cases}

Jak się okazuje, rozwiązanie tego układu równań nie jest takie łatwe (wychodzą bardzo zawiłe obliczenia). Jeśli macie jakiś pomysł jak to szybko policzyć (tzn. wyznaczyć x, y, r to chętnie zobaczę szybkie rozwiązanie).
Jednak ja nie miałem pomysłu jak to zrobić sprytnie i zaplątałem się w obliczeniach. Dlatego zleciłem to zadanie Wolframowi.

Zadałem mu do wyliczenia x i y a oznaczenia punktów zmieniłem w ten sposób (Wolfram ma problem z indeksami, stąd zmiana):
A_1=(x_1, y_1) = (a, b)\\A_2=(x_2,y_2)=(c,d)\\A_3=(x_3,y_3)=(e,f)

Tu możecie zobaczyć co Wolfram wypluł.
Formułka dla Wolframa:
Kod:
1
Solve[{(a - x)^2 + (b - y)^2 == (c - x)^2 + (d - y)^2, (c - x)^2 + (d - y)^2 == (e - x)^2 + (f - y)^2}, {x,y}]


czyli kazałem mu policzyć:
\begin{cases} (x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 = (x_2 - x)^2 + (y_2 - y)^2 \\ (x_2 - x)^2 + (y_2 - y)^2=(x_3 - x)^2+ (y_3 - y)^2 \end{cases}

Wolframowi wyszło, że jeśli:
-ad+af+bc-be-cf+de\neq 0 \wedge b - f \neq 0
czyli jeśli:
-x_1 \cdot y_2 + x_1\cdot y_3 + y_1\cdot x_2 - y_1\cdot x_3 - x_2\cdot y_3 + y_2\cdot x_3 \neq 0 \wedge y_1 - y_3\neq 0

to:

x = \frac{a^2 (-d)+a^2 f-b^2 d+b^2 f+b c^2+b d^2-b e^2-b f^2-c^2 f-d^2 f+d e^2+d f^2}{2\cdot (-a d+a f+b c-b e-c f+d e)}\\
y =-\frac{a^2 (-c)+a^2 e+a c^2+a d^2-a e^2-a f^2-b^2 c+b^2 e-c^2 e+c e^2+c f^2-d^2 e}{2\cdot (-a d+a f+b c-b e-c f+d e)}

czyli:

x = \frac{-x_{1}^2\cdot y_{2} + x_{1}^2\cdot y_{3} - y_{1}^2\cdot y_{2} + y_{1}^2\cdot y_3 + y_{1}\cdot x_{2}^2 + y_{1}\cdot y_{2}^2 - y_{1}\cdot x_{3}^2 - y_{1}\cdot y_{3}^2 - x_{2}^2\cdot y_{3} - y_{2}^2\cdot y_{3} + y_{2}\cdot x_{3}^2 + y_{2}\cdot y_{3}^2}{2\cdot (-x_{1}\cdot y_{2} + x_{1}\cdot y_{3} + y_{1}\cdot x_{2} - y_{1}\cdot x_{3} - x_{2}\cdot y_{3} + y_{2}\cdot x_{3})}

y =-\frac{-x_{1}^2 \cdot x_{2}+x_{1}^2 \cdot x_{3}+x_{1} \cdot x_{2}^2+x_{1} \cdot y_{2}^2-x_{1} \cdot x_{3}^2-x_{1} \cdot y_{3}^2-y_{1}^2 \cdot x_{2}+y_{1}^2 \cdot x_{3}-x_{2}^2 x_{3}+x_{2} x_{3}^2+x_{2} y_{3}^2-y_{2}^2 x_{3}}{2\cdot (-x_{1} \cdot y_{2}+x_{1} \cdot y_{3}+y_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot x_{3}-x_{2} \cdot y_{3}+y_{2} \cdot x_{3})}
Pytania:
    Czy to jest dobrze?
    Jak to łatwo wyliczyć bez Wolframa?
    Skąd Wolframowi wyszedł ten warunek: -ad+af+bc-be-cf+de\neq 0 \wedge b - f \neq 0 (rozumiem, że to mianownik wyniku, ale chciałbym wiedzieć jakie przypadki punktów A,B,C w ten sposób wykluczamy)? Czyżby tym warunkiem była zapewniona niewspółliniowość A,B,C?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2012, o 06:43 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4350
Lokalizacja: Nowa Ruda
Możemy napisać równania symetralnych dwóch boków. Dla odcinka
\overline{A_1 A_2}=\left[ x_2-x_1 ;y_2-y_1 \right] otrzymamy prostą prostopadłą o równaniu:
(x_2 -x_1)x+(y_2 -y_1)y+C_1=0
Ponieważ przechodzi ona przez środek więc:
(x_2-x_1)\frac{x_1+x_2}{2}+(y_2-y_1)\frac{(y_2+y_1)}{2}+C_1=0\\
C_1=\frac{\left(x_1^2-x_2^2 +y_1^2 -y_2^2\right) }{2}
Podobnie należy zrobić równanie symetralnej dla odcinka \overline{A_1 A_3}.
Sam układ najlepiej rozwiązać metodą wyznaczników.

-- 17 paź 2012, o 07:52 --

Kod:
1
Solve[{(c - a)x + (d - b)y +(a^2-c^2+b^2-d^2)/2 ==0,(e - a)x + (f - b)y +(a^2-e^2+b^2-f^2)/2 ==0 }, {x,y}]

Jednak lepiej byłoby policzyć wyznacznik osobno. Wtedy na pewno zobaczymy warunek współliniowości.

-- 17 paź 2012, o 08:03 --

Edit: Jak patrzę teraz, to mała różnica między tymi układami.
Mój układ otrzymamy po drobnych przekształceniach twojego układu. Różnica jest taka, że u mnie widać od razu te warunki współliniowości.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Wzory: na dwusieczna w trójkącie oraz na prostą prostopa  Anonymous  1
 Wyznacz współrzędne wierzchołka równoległoboku  Anonymous  15
 Znaleźć czwarty wierzchołek równoległoboku  Anonymous  3
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl