szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2012, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 106
Niestety znowu mam problem z wyznaczeniem dziedziny. Tym razem chodzi o dwie funkcje:

a) f(x) = \ln \sqrt{1 + \sin 3x}
b) f(x) = \arc\sin ^{2}(2 \ln x - 1)

Jeśli chodzi o pierwszą funkcję zapisuję, że 1 + \sin 3x  \ge 0. Podstawiam 3x = t. Dalej postępuję tak: 1 + \sin t  \ge 0, następnie \sin t  \ge -1, potem \sin t  \ge \sin (- \frac{\pi}{2} + 2k \pi). W tym momencie nie wiem czy dobrze to zapisałem. Próbowałem kontynuować obliczenia: t  \ge - \frac{\pi}{2} + 2k \pi, 3x  \ge - \frac{\pi}{2} + 2k \pi i na koniec x  \ge - \frac{\pi}{6} +  \frac{2}{3} k \pi. Niestety ten wynik nie zgadza się z odpowiedzią do tego przykładu bo dziedzina powinna być taka: D _{f} = \mathbb{R} \setminus \left\{ x =  \frac{\pi}{2} +  \frac{2}{3} k \pi  \right\}  \wedge k \in \mathbb{Z}.

W drugim przykładzie wydaje mi się, że 2 \ln x - 1 \in \left[ 0,1\right] ale nie mam pewności. Postępowałem w ten sposób: 2 \ln x- 1  \le 1, następnie 2 \ln x  \le 2, potem \ln x  \le 1. Później otrzymałem coś takiego \ln x  \le \ln e i następnie x  \le e. I to by pasowało bo dziedziną ma być przedział \left[ 1, e\right]. Próbowałem później policzyć to: 2 \ln x - 1  \ge 0. Dalej otrzymywałem kolejno 2 \ln x  \ge 1, \ln x  \ge  \frac{1}{2}, \ln x  \ge \ln  \sqrt{e} i w końcu x \ge  \sqrt{e}. Dodatkowo jeszcze x> 0 ponieważ argument logarytmu musi być większy od zera. Czyli dziedzina wyszła mi taka: \left[  \sqrt{e}, e \right]. Gdzie robię błąd?

Proszę o pomoc w określeniu dziedziny w tych dwóch przykładach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2012, o 15:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4350
Lokalizacja: Nowa Ruda
Cytuj:
\sin t \ge -1

to jest prawda dla dowolnego rzeczywistego t. Na tym kończysz.
Drugą nierówność jaką masz rozwiązać, to \sqrt{1+\sin 3x}>0, co po podniesieniu do kwadratu będzie bardzo podobne do tego co rozwiązywałeś. 1+\sin 3x >0. Ta nierówność nie jest spełniona tylko wtedy, gdy \sin 3x = -1. I tutaj nie widzę błędu w twoim rozwiązaniu. Ale w ich też nie, bo to jest tylko przesunięcie. Ty zacząłeś od -\frac{\pi}{2} oni od \frac{3\pi}{2}.

Jeśli chodzi o drugie to \ln 2-1 \in \left[-1;1 \right].
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2012, o 15:38 
Użytkownik

Posty: 106
Jeśli chodzi o pierwszy przykład to teraz już rozumiem, że \sin 3x nie może się równać -1 czyli do dziedziny nie należy tylko \frac{\pi}{2} +  \frac{2}{3} k \pi. Dziękuję za wyjaśnienie. Muszę jednak dopytać o jedną rzecz. Jeśli 1 + \sin 3x > 0 to \sin 3x > -1. Czyli \sin 3x > \sin \left( \frac{3}{2} \pi + 2k \pi  \right)   \Rightarrow x >  \frac{\pi}{2} +  \frac{2}{3}  k \pi. A powinno być jeszcze, że x może też być mniejszy od tej wartości. Nie rozumiem dlaczego rozwiązując to w ten sposób nie dochodzi się do takiego wyniku jak przy zapisaniu, że \sin 3x  \neq -1.

A jeśli chodzi o drugi przykład to nie rozumiem dlaczego 2 \ln x - 1 \in \left[ -1,1\right] skoro w argumencie arcusa jest \sin^2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2012, o 12:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4350
Lokalizacja: Nowa Ruda
Tak się nie rozwiązuje nierówności trygonometryczny. Takie przejście typu:
f(x)>f(a) \Rightarrow x>a, stosujemy tylko, gdy funkcja jest monotoniczna.
Tutaj należy narysować wykres funkcji \sin 3x, bądź \sin t i odczytać dla jakich argumentów będzie to spełnione.
Jeśli chodzi o drugi podpunkt, to:
f(x)=\left[\arcsin \left(2\ln x-1 \right)  \right]^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2012, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 106
Dziękuję za pomoc i wyjaśnienie. Teraz już rozumiem te dwa przykłady.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kiedy potrzebne jest wyznaczanie dziedziny ?  mateo19851  4
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl