szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2012, o 12:11 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Czy to prawda, że dla każdego n \in \NN liczba n(n+1)(n+2)(n+3) jest podzielna przez:
a) 12,
b) 18,
c) 24,
d) 36.
Jeżeli tak to udowodnij.
Wiem, że jeżeli są to cztery kolejne liczby, to ten iloczyn dzieli się przez 4, czyli w przykładzie A trzeba udowodnić, że dzieli się przez 3, B nie wiem, C przez 6, a więc 2 i 3 i D przez 9.
Nie wiem tylko jak do tego dojść, próbowałem już to zrobić ale cały czas mi nie wychodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2012, o 12:25 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Nie dość, że dzieli się przez cztery (bo co najmniej jeden składnik się dzieli przez cztery), to jeszcze przez trzy (jw.), a nawet więcej, bo i dodatkową dwójkę w rozkładzie można znaleźć (dwie liczby są parzyste, z czego jedną już wykorzystaliśmy do podzielności przez cztery), stąd z automatu masz a) i c).

Przez 18 i 36 podzielne być nie musi, na przykład dla n=1 to wyrażenie jest równe 24, co nie jest podzielne przez żadną z tych liczb.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2012, o 12:29 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
A no rzeczywiście. Dzięki Wielkie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2012, o 12:35 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Możesz sobie kiedyś zechcieć udowodnić dla własnej satysfakcji takie twierdzenie:
Iloczyn k kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez k!.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 paź 2012, o 12:37 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Bielsko/Kraków
Twierdzenie dla puntów b) i d) nie jest prawdziwe.

Weźmy n = 1,

wtedy Liczba = 1(1+1)(1+2)(1+3) = 24.
24 nie jest podzielne przez 18, ani przez 36, więc b) i d) są nieprawdziwe.

Dowód, że a) jest prawdziwe:

1. (co trzecia liczba rzeczywista dzieli się przez 3)
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 idt,
więc co najmniej jedna z liczb n, n+1, n+2, n+3 dzieli się przez 3.

2. (co czwarta liczba rzeczywista dzieli się przez 4)
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 idt,
więc dokładnie jedna z liczb n, n+1, n+2, n+3 dzieli się przez 4.

3. Iloczyn liczby podzielnej przez 3 i liczby podzielnej przez 4 jest liczbą podzielną przez 12.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl