szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 lis 2012, o 18:21 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Proszę o pomoc, bo naprawdę nie wiem jak to zrobić...

Znaleźć równanie elipsy mającej ogniska na osi Ox symetryczne względem początku układu wiedząc, że przechodzi ona przez punkt A(4,-1) i jest styczna do prostej x+4y-10=0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2012, o 19:18 
Użytkownik

Posty: 1053
Lokalizacja: podWarszawie
Nie daję żadnej gwarancji co do poprawności tego rozwiązania, bo wyszło mi coś lekko kosmicznego. No ale zamieszczam to, bo się trochę napociłem :roll:

Skoro ogniska są symetryczne względem początku układu i leżą na osi OX , to środek elipsy jest w punkcie (0,0) , zatem elipsa ta przedstawia się równaniem \frac{(x - 0)^2}{a^2} + \frac{(y - 0)^2}{b^2} = 1 , zatem \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 . Ponadto, punkt A należy do elipsy, i prosta x + 4y - 10 = 0 \Leftrightarrow y = -\frac{1}{4}x + 2,5 ma jeden punkt styczności z elipsą. Zatem da punktu styczności (x,y) można ułożyć taki układ równań:

\begin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\\ \frac{4^2}{a^2} + \frac{(-1)^2}{b^2} = 1\\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{(-\frac{1}{4}x + 2,5)^2}{b^2} = 1 \end{cases}

\begin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\\ a^2 = \frac{16b^2}{b^2 - 1}\\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2 - 10x + 100}{16b^2} = 1 \end{cases}

Z ostatniego równania dostajemy: x^2b^2 - 10x + 100 - 16b^2 = 0
\Delta = 0 , gdyż jest tylko jeden punkt styczności danej prostej. Zatem 16b^4 - 100b^2 + 25 = 0 . Stąd

b = \pm \frac{1}{4}\sqrt{10(5\pm \sqrt{21})}

b jest długością odcinka, więc b>0 , zatem

b = \frac{1}{4}\sqrt{10(5\pm \sqrt{21})}

podstawiam do drugiego równania:

[tex]a^2 = -10(5 \pm \sqrt{21}) + 16

Pamiętamy, że kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc

a^2 = -34 + 10\sqrt{21} \Rightarrow a = \pm \sqrt{2(5\sqrt{21} - 17)}

a jest długością odcinka, więc a>0 , zatem

a = \sqrt{2(5\sqrt{21} - 17)}

Zatem nasza elipsa...

\frac{x^2}{-34 + 10\sqrt{21}} + \frac{y^2}{\frac{5(5 \pm \sqrt{21})}{8}} = 1
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 lis 2012, o 19:26 
Użytkownik

Posty: 16255
777Lolek napisał(a):
\frac{x^2}{-34 + 10\sqrt{21}} + \frac{y^2}{\frac{5(5 \pm \sqrt{21})}{8}} = 1


Współrzędne punktu A(4,-1) nie spełniają równania tej elipsy.

-- dzisiaj, o 18:35 --

777Lolek napisał(a):

777Lolek napisał(a):

\begin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\\ a^2 = \frac{16b^2}{b^2 - 1}\\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2 - 10x + 100}{16b^2} = 1 \end{cases}

Z ostatniego równania dostajemy: x^2b^2 - 10x + 100 - 16b^2 = 0



\begin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\\ a^2 = \frac{16b^2}{b^2 - 1}\\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2 - 20x + 100}{16b^2} = 1 \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2012, o 19:43 
Użytkownik

Posty: 1053
Lokalizacja: podWarszawie
Domyślałem się że coś jest nie tak;p a więc błąd przy przemnażaniu, na początku. Ale postępowanie zapewne dobre, Moshi_moshi, zatem po prostu oblicz ten poprawiony układ równań, który podała anna_. Tutaj \Delta dla b^2 = t wychodzi śliczna ;p

-- 2 lis 2012, o 18:44 --

Dziękuję \\ :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 lis 2012, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Jejku, ślicznie Wam dziękuję :) Przeanalizuję to sobie na spokojnie, obliczę i może w końcu zrozumiem te elipsy ^^ Dzięki jeszcze raz.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znaleźć równanie elipsy - zadanie 2  Stap  5
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Elipsy - zadania  Anonymous  11
 Znaleźć czwarty wierzchołek równoległoboku  Anonymous  3
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl