szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2007, o 20:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 39
Lokalizacja: Wszechświat
Witam, mogłby mi ktoś pomóc udowodnić taką nierówność ?

n!>=e(\frac{n}{e})^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 mar 2007, o 21:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
1. Spr. dla n=1:
L=1!=1; P= e \cdot ( \frac{1}{e})^1=\frac{e}{e}=1 \\L \geq P
2. Zał. ind.: k! \geq e ( \frac{k}{e})^k
Teza ind.: (k+1)! \geq e ( \frac{k+1}{e} )^{k+1}
D-d:
(k+1)!=k!(k+1) \geq e ( \frac{k}{e})^k \cdot (k+1)
(?) e ( \frac{k}{e})^k \cdot (k+1) \geq e ( \frac{k+1}{e} )^{k+1}
(?) ( \frac{k}{e})^k \cdot (k+1) \geq ( \frac{k+1}{e})^k \cdot \frac{k+1}{e}
(?) e ( \frac{k}{e})^k \geq ( \frac{k+1}{e})^k
(?) e^{k+1} \cdot k^k \geq (k+1)^k
(?) e^{k+1} \geq ( \frac{k+1}{k} )^k= ( 1+ \frac{1}{k} )^k
Ponieważ ciąg a_{n}=(1 + \frac{1}{n})^n jest rosnący, a jego granicą jest właśnie e, więc ( 1+ \frac{1}{k} )^k \leq e \leq e^{k+1}, bo k \geq 1. Ze względu na fakt, że wcześniejsze przekształcenia były równoważne, teza została wykazana.
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana nierówność prawdziwa jest dla każdej dodatniej liczby naturalnej.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja - nierownosc  Keendr  1
 Indukcja - nierówność  blasoft  4
 Indukcja - nierówność - zadanie 3  Miroslav  3
 Indukcja - nierówność - zadanie 4  lamsi  1
 indukcja matematyczna - pytanie  ZIELONY  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl