szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lis 2012, o 15:34 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Bulowice
Poszukuję wyprowadzenia wzoru na kąt między płaszczyznami w których jedna płaszczyzna wyznaczona jest przez punkty A, B, C a druga np. D, E, F. Czy takowe bądź podobne wyprowadzenie było poruszane na forum, a może znajdę go w jakiejś literaturze? Będę wdzięczna za jakąkolwiek pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lis 2012, o 18:17 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Spróbuj jednak wykonać to zadanie samodzielnie.

Wystarczy wyznaczyć równania ogólne obu płaszczyzn, a następnie kąt między wektorami normalnymi tych płaszczyzn (tu skorzystaj z definicji iloczynu skalarnego).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lis 2012, o 20:57 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Bulowice
Ok będę próbować. Przy wyznaczaniu ogólnego równania dobrze będzie jeśli przyjmę sobie jak poniżej?
A=(x_A,y_A,z_A)
B=(x_B,y_B,z_B)
C=(x_C,y_C,z_C)
itp. dla DEF
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lis 2012, o 22:11 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Tak, jak najbardziej.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 lis 2012, o 18:53 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Bulowice
Wykonałam obliczenia które prezentują się jak poniżej. Prosiłabym o sprawdzenie czy tak to ma wyglądać? Następnie podstawić wektory \vec{n_1} i \vec{n_2} do wzoru na iloczyn skalarny.

======Założenie=========
A=(x_A,y_A,z_A)
B=(x_B,y_B,z_B)
C=(x_C,y_C,z_C)

K=(x_K,y_K,z_K)
L=(x_L,y_L,z_L)
M=(x_M,y_M,z_M)
=========OBLICZENIA======
\vec{AB}=[x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A}]
\vec{AC}=[x_{C}-x_{A},y_{C}-y_{A},z_{C}-z_{A}]

\vec{KL}=[x_{L}-x_{K},y_{L}-y_{K},z_{L}-z_{K}]
\vec{KM}=[x_{M}-x_{K},y_{M}-y_{K},z_{M}-z_{K}]
======Założenie=========
[x_{B}-x_{A}]=x_{AB}
[y_{B}-y_{A}]=y_{AB}
[z_{B}-z_{A}]=z_{AB}
[x_{C}-x_{A}]=x_{AC}
[y_{C}-y_{A}]=y_{AC}
[z_{C}-z_{A}]=z_{AC}

[x_{L}-x_{K}]=x_{KL}
[y_{L}-y_{K}]=y_{KL}
[z_{L}-z_{K}]=z_{KL}
[x_{M}-x_{K}]=x_{KM}
[y_{M}-y_{K}]=y_{KM}
[z_{M}-z_{K}]=z_{KM}

=========OBLICZENIA======
\vec{AB}=[x_{AB},y_{AB},z_{AB}]
\vec{AC}=[x_{AC},y_{AC},z_{AC}]

\vec{KL}=[x_{LK},y_{LK},z_{LK}]
\vec{KM}=[x_{MK},y_{MK},z_{MK}]

\vec{n_1} =\vec{AB} \times \vec{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i} &\vec{j} &\vec{k}\\ x_{AB}&y_{AB}&z_{AB}\\ x_{AC}&y_{AC}&z_{AC}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}y_{AB}&z_{AB}\\ y_{AC}&z_{AC}\end{array}\right| \vec{i} -\left|\begin{array}{cc}x_{AB}&z_{AB}\\ x_{AC}&z_{AC}\end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc}x_{AB}&y_{AB}\\ x_{AC}&y_{AC}\end{array}\right| \vec{k}=i[y_{AB}z_{AC}-z_{AB}y_{AC}]-j[x_{AB}z_{AC}-z_{AB}x_{AC}]+k[x_{AB}y_{AC}-y_{AB}x_{AC}]=[y_{AB}z_{AC}-z_{AB}y_{AC},-x_{AB}z_{AC}+z_{AB}x_{AC},x_{AB}y_{AC}-y_{AB}x_{AC}]

\vec{n_2} =\vec{KL} \times \vec{KM}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i} &\vec{j} &\vec{k}\\ x_{KL}&y_{KL}&z_{KL}\\ x_{KM}&y_{KM}&z_{KM}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}y_{KL}&z_{KL}\\ y_{KM}&z_{KM}\end{array}\right| \vec{i} -\left|\begin{array}{cc}x_{KL}&z_{KL}\\ x_{KM}&z_{KM}\end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc}x_{KL}&y_{KL}\\ x_{KM}&y_{KM}\end{array}\right| \vec{k}=i[y_{KL}z_{KM}-z_{KL}y_{KM}]-j[x_{KL}z_{KM}-z_{KL}x_{KM}]+k[x_{KL}y_{KM}-y_{KL}x_{KM}]=[y_{KL}z_{KM}-z_{KL}y_{KM},-x_{KL}z_{KM}+z_{KL}x_{KM},x_{KL}y_{KM}-y_{KL}x_{KM}]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2012, o 12:24 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Wszystko dobrze. Teraz z definicji iloczynu skalarnego mamy
\cos\angle(\vec{n_1},\vec{n_2})=\frac{\vec{n_1}\circ\vec{n_2}}{\|\vec{n_1}\|\|\vec{n_2}\|}.
Na koniec trzeba zauważyć, że kąt między płaszczyznami ma miarę \pi-\angle(\vec{n_1},\vec{n_2}), więc jego kosinus wynosi -\cos\angle(\vec{n_1},\vec{n_2}).

Podziwiam chęć i determinację w wykonywaniu tylu obliczeń. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczyć odległość między prostymi - zadanie 3  Scruffy  3
 kąt między sinx i cosx  Minnie_  1
 Miara kata między prostą i płaszczyzna  lled3  0
 Cosinus kąta między przekątnymi  violingirl  4
 Oblicz odległość między prostymi.  dymen14  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl