szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lis 2012, o 23:41 
Użytkownik

Posty: 121
Lokalizacja: Poland
Sekretarka mając n listów i dopasowanych do nich kopert pakuje je w sposób losowy. Pokazać, że ilość poprawnie dopasowanych listów X ma wartość oczekiwaną i wariancję równą 1.

Robię to w sposób następujący:
X - zmienna losowa, ile listów jest poprawnie zapakowanych.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i & 0 & 1 & \cdots & i & \cdots & n \\
\hline
p_i & ? & n (n-1)! \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k!}/n!  & \cdots & (n po i)(n-i)! \sum_{k=0}^{n-i} \frac{(-1)^k}{k!}/n!  & \cdots & 1/n! \\
\hline
\end{tabular}

Jeśli i listów jest na swoim miejscu to (n-i) jest nie na swoim (permutacje bez punktów stałych - (n-i)! \sum_{k=0}^{n-i} \frac{(-1)^k}{k!}), te które mają być na właściwym miejscu wybieram na {n\choose i} sposobów.

E(X) = \sum_{i=0}^{n} i \frac{{n\choose i}(n-i)! \sum_{k=0}^{n-i} \frac{(-1)^k}{k!}}{n!} = 1
\sum_{i=0}^{n} i {n\choose i}(n-i)! \sum_{k=0}^{n-i} \frac{(-1)^k}{k!} = n!

... i teraz chciałem zrobić dowód kombinatoryczny: po prawej stronie mamy ilość permutacji zbioru n-elementowego. Po lewej stronie policzymy te permutacje inaczej, rozpatrując ile punktów stałych może mieć taka permutacja. Albo 0, albo 1, ... n. Tylko dlaczego tam jest dodatkowo przemnożone przez i? Tzn. tak musi być ze wzoru na wartość oczekiwaną, tylko jak to zinterpretować kombinatorycznie? Bo rozpisywać to równanie to raczej tego nie widzę :)

Chyba, że jakoś inaczej da się to rozwiązać?

Z góry dzięki za pomoc,

Pozdrawiam.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wartość oczekiwana modułu różnicy zmiennych losowych  agnieszka92  5
 Warunkowa wartość oczekiwana - zadanie 72  alla2012  4
 wartość oczekiwana i wariancja - zadanie 2  szaza99  2
 Wartość oczekiwana przy zakładzie o wygraną w ruletce  ketepole  2
 Warunkowa wartość oczekiwana - zadanie 79  rose93  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl