szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2012, o 14:02 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Co znaczy "funkcje złożone przedstawić za pomocą funkcji prostych"

np. y= \sin^2 x^2 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2012, o 14:03 
Użytkownik

Posty: 1053
Lokalizacja: podWarszawie
Masz tu złożenie funkcji \sin^2 x z funkcją x^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2012, o 14:18 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Mógłbyś napisać calutkie rozwiązanie, jak to powinno oficjalnie wyglądać? (mam trochę tego więcej, a nie wiem jak to zapisywać).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2012, o 14:20 
Użytkownik

Posty: 202
Może chodzi o to żeby zapisać funkcję y= \sin^2 x^2 jako złożenie funkcji prostych przy czym funkcje proste to y=\sin (x), y=x^2

jak oznaczysz sobie f(x)=\sin x oraz g(x)=x^2, to ta Twoja funkcja to y=(g \circ f \circ g)(x)

wystarczy rozpisać te złożenia, by to pokazać
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2012, o 14:29 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1918
Lokalizacja: Wrocław
kamil13151 napisał(a):
Co znaczy "funkcje złożone przedstawić za pomocą funkcji prostych"

np. y= \sin^2 x^2 ?


Według mnie to oznacza, że masz przedstawić funkcje złożone jako złożenia funkcji elementarnych.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_elementarne
Chodzi o zbiór E_{0}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2012, o 14:31 
Użytkownik

Posty: 202
y=(g \circ f \circ g)(x)=g( (f \circ g)(x))=g(f(g(x)))

f(g(x))=f(x^2)=\sin x^2
g(f(g(x)))=(\sin x^2)^2=\sin^2 x^2

złożenie jest łączne oczywiście*
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2012, o 15:42 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Jak tutaj będzie: y= \sqrt{\log \tg  \frac{x}{2} } ? Bym wiedział, ale przeszkadza mi warunek, że dziedzina funkcji g musi zawierać zbiór funkcji f.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2012, o 16:26 
Użytkownik

Posty: 202
ogólnie jak masz

f(x)=\frac{x}{2}, f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}
g(x)=\tan (x), g:\left\{ x \in \mathbb{R}:x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k \in \mathbb{Z}\right\} \rightarrow \mathbb{R}
h(x)=\log x, h:\mathbb{R_+} \rightarrow \mathbb{R}
k(x)=\sqrt{x}, k:\mathbb{R_+} \cup \left\{ 0\right\}  \rightarrow \mathbb{R}

to y=(k\circ h\circ g\circ f)(x)=k((h\circ g \circ f)(x))=k(h((g \circ f)(x)))=k(h(g(f(x)))) o ile da się wykonać te złożenia

aby złożyć g z f musi być f|_A :A \rightarrow \left\{ x \in \mathbb{R}:x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k \in \mathbb{Z}\right\} czyli musisz wyznaczyć nową dziedzinę funkcji f tak aby wszystkie wartości tej funkcji znajdowały się w zbiorze \left\{ x \in \mathbb{R}:x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k \in \mathbb{Z}\right\} (aby można było zdefiniować złożenie g\circ f czyli wyznaczasz zbiór A). Otrzymasz więc funkcję (g \circ f) (x)=g(f(x))=\tan \left(\frac{x}{2}\right)

dalej powtarzasz ten schemat czyli później składasz h \circ (g \circ f) itd. czyli idziesz etapami od wewnątrz do zewnątrz jeśli chodzi o y=k(h(g(f(x))))
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2012, o 16:38 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Dzięki, a tutaj:
y= \left(  \frac{x}{x^2-1} \right)^3
Oczywiście g(x)=x^3, ale czy jeszcze jakieś?

y= \sqrt{1- \cos x}
Czy mogę tutaj zamienić to na y= | \sin x |? Czy jednak nie można przyjąć, że np. g(x)=|x|?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2012, o 16:49 
Użytkownik

Posty: 202
auć, tak chyba się nie da, inaczej powinno być, przepraszam: Dziedzina funkcji y= \sqrt{\log \tg \frac{x}{2} } musi być dziedziną f, a przeciwdziedzina k musi być taka jak przeciwdziedzina y= \sqrt{\log \tg \frac{x}{2} } (najpierw ustal dziedzinę i przeciwdziedzinę tej funkcji złożonej). Najlepiej sprawdź to czy się zgodzi (powinno), w zasadzie powinieneś mieć podane dziedziny i przeciwdziedziny tych funkcji żeby wiedzieć jak to skladać, bo tak to samemu trzeba ustalać - trochę to dziwne :roll:

na razie muszę iść, będę później

-- 5 lis 2012, o 17:59 --

generalnie chodzi o to, że trzeba składać funkcje w ten sposób

jak już pisałem w poprawce - dziedzina f jest taka sama jak dziedzina y= \sqrt{\log \tg \frac{x}{2} }, podobnie przeciwdziedzina funkcji k jest taka sama jak przeciwdziedzina y= \sqrt{\log \tg \frac{x}{2} } (gdyż y= \sqrt{\log \tg \frac{x}{2} } jest złożeniem kolejnych funkcji)

Ogólnie - wynika to stąd, że jak składamy f:X \rightarrow Y z g:Y \rightarrow Z, to mamy g \circ f: X \rightarrow Z

Dalej - jak składamy g\circ f: X \rightarrow Z z h:Z \rightarrow D , to (h \circ ( g \circ f)):X \rightarrow D itd.

Za każdym razem, najpierw wychodząc od dziedziny D_f=D_{y= \sqrt{\log \tg \frac{x}{2} }} musimy tak "dopasowywać" naturalne dziedziny funkcji kolejnych aby rzeczywiście mogło być w następnym składaniu tak, że przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej f:X \rightarrow Y złożenia g \circ f stała się dziedziną funkcji zewnętrznej g:Y \rightarrow Z złożenia g \circ f (tj. zgodnie z tym co jest powyżej i definicją złożenia), trochę nieciekawie wygląda to na pierwszy rzut oka w tym przykładzie - możemy oczywiście składać od wewnątrz w schemacie y=(k\circ h\circ g\circ f)(x)=k((h\circ g \circ f)(x))=k(h((g \circ f)(x)))=k(h(g(f(x))))


Przepraszam raz jeszcze za tę pomyłkę wcześniej, ale nam zawsze podają dziedziny i przeciwdziedziny funkcji, ba - nawet twierdzą, że jak się tego nie zrobi i poda sam wzór f(x), to nie zadaliśmy funkcji, więc dziwne mi się to wydawało stąd ta pomyłka*
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Funkcje, dziedzina  qkiz  3
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl