szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2012, o 01:21 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Wrocław
Jak policzyć tę granicę, korzystając WYŁĄCZNIE z definicji liczby e?

\lim_{ n\to  \infty }\left(  \frac{3n+1}{3n+4} \right)^{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2012, o 01:47 
Użytkownik

Posty: 454
Lokalizacja: Warszawa
Dodając i odejmując 3n+4 w liczniku dochodzi się do:
\left( 1+ \frac{-3}{3n+4}\right)^n  = \left( 1- \frac{1}{n+ \frac{4}{3} }\right)^n
Zamiast tych \frac{4}{3} mogłoby tam być cokolwiek, granica jest zawsze e^{-1}. Ale nie wiem, czy to nie wykracza poza korzystanie wyłącznie z definicji e
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2012, o 02:14 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki. Jak na mój rozum jest ok ; )

Jeszcze z tym mam problem:

\lim_{ n\to \infty }\left( \frac{n-1}{n+3} \right)^{2n+1}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2012, o 12:23 
Użytkownik

Posty: 454
Lokalizacja: Warszawa
Tym samym sposobem dochodzimy do
\lim_{ n \to  \infty }\left( 1+ \frac{-4}{n+3} \right)^{2n+1} = \\
= \lim_{ n \to  \infty }\left( 1- \frac{4}{n+3} \right)^{2n}\cdot\left( 1- \frac{4}{n+3} \right)
Przy czym:
\lim_{ n\to  \infty } \left( 1- \frac{4}{n+3} \right)=1
zaś
\lim_{ n \to  \infty }\left( 1- \frac{4}{n+3} \right)^{2n}=e^{\left( -4\right) \cdot 2}=e^{-8}
Tę ostatnią zależność łatwo zauważyć jeśli zapisze się w taki sposób:
\lim_{ n \to  \infty }\left( 1+ \frac{a}{n} \right)^{bn} = 
\lim_{ n \to  \infty }{\left( \left( 1+ \frac{a}{n} \right)^n\right) }^b = 
{\left( e^a\right) }^b = e^{ab}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2012, o 14:54 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Wrocław
Jest ok, tylko że to rozwiązanie nie mieści się w definicji liczby e. W tym tkwi właśnie trudność, żeby nie korzystać z granicy podstawowej \lim_{ n \to \infty }\left( 1+ \frac{a}{n} \right)^{n}= e^{a} tylko ścisłej definicji \lim_{ n \to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n}= e

Ma ktoś jakiś pomysł?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2012, o 15:44 
Użytkownik

Posty: 454
Lokalizacja: Warszawa
Myślę, że można to pokazać, rozwijając \left( 1+ \frac{a}{n} \right)^{n} w szereg i potem zwijając go z powrotem tak, by dojść do \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{an}, ale nie mam czasu teraz tego rozpisać, może później to zrobię. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 22:16 
Użytkownik

Posty: 454
Lokalizacja: Warszawa
placky, ok napisałem że później to zrobię i zrobiłem, co prawda po 5 latach. A sprawa jest banalna, trzeba zamienić zmienne:

\left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = \\ m:=\frac{n}{x} \\
= \left( 1 + \frac{1}{m} \right)^{xm}

Pominąłem lim. Pozdr.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21  Anonymous  3
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica funkcji/funkcja odwrotna.  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl