szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2012, o 18:59 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Włocławek
"Metodą indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej zachodzi równość:"
1+ \frac{1}{2}+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{2} + \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{3}+...+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{n} = 2- \frac{1}{ 2^{n} }
Sprawdziłem wartość po obu stronach. Napisałem Założenie, tezę:
1+ \frac{1}{2}+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{2} + \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{3}+...+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{k}+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{k+1} = 2- \frac{1}{ 2^{k+1} }
Mam problem z dowodem. Nie potrafię dokończyć zadanie. Czy będzie ktoś na tyle miły i pomoże?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2012, o 19:15 
Użytkownik

Posty: 844
Lokalizacja: Wrocław
Biorę równanie w tej postaci, którą podałeś:

1+ \frac{1}{2}+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{2} + \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{3}+...+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{k}+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{k+1} = 2- \frac{1}{ 2^{k+1} }

Przerzucam \left( \frac{1}{2}\right)^{k+1} na drugą stronę, dzięki czemu po lewej stronie mamy postać taką, jak wcześniej, a po prawej stronie po przekształceniach również do niej dochodzimy:

1+ \frac{1}{2}+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{2} + \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{3}+...+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{k} = 2- \frac{1}{ 2^{k+1} } -  \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{k+1} = 2- \frac{1}{ 2^{k+1} } - \frac{1}{ 2^{k+1} } = 2-2 \cdot \frac{1}{ 2^{k+1} } = 2 - \frac{1}{2^k}

Więc z założenia, że zachodzi: 1+ \frac{1}{2}+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{2} + \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{3}+...+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{k} = 2- \frac{1}{ 2^{k} } wynikło, że zachodzi również:

1+ \frac{1}{2}+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{2} + \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{3}+...+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{k}+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{k+1} = 2- \frac{1}{ 2^{k+1} }
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 lis 2012, o 19:17 
Użytkownik

Posty: 16255
1+ \frac{1}{2}+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{2} + \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{3}+...+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{k}+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{k+1}=2- \frac{1}{ 2^{k} }+ \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{k+1}=2- \frac{1}{ 2^{k} }+ \frac{1}{2^{k+1}}=2- \frac{2 \cdot 1}{ 2 \cdot 2^{k} }+ \frac{1}{2^{k+1}}=2- \frac{2 }{ 2^{k+1} }+ \frac{1}{2^{k+1}}=2- \frac{1}{2^{k+1}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2012, o 20:26 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Włocławek
Nie rozumiem przekształcenia 2-2 \cdot  \frac{1}{2 ^{k+1} } = 2- \frac{1}{ 2^{k} } Mógłbym pan je wytłumaczyć?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 lis 2012, o 20:37 
Użytkownik

Posty: 16255
Ja mogę :D

2-2 \cdot  \frac{1}{2 ^{k+1} } =2-2 \cdot  \frac{1}{2 \cdot 2^k}

skracasz dwójki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2012, o 21:20 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Włocławek
Cwane! :) Dziękuję.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód równości  milagros111  2
 Dowód równości - zadanie 2  exupery  1
 Dówód równości  kangurka  3
 Dowód równości - zadanie 13  lel1101  6
 dowód równości - zadanie 9  MikolajB  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl