szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2012, o 20:11 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Mam do udowodnienia, że \sqrt[4]{2} jest liczbą niewymierną.

Robie dowód przez sprzeczność, czyli zakładam, że \sqrt[4]{2} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}.

Czyli:
\sqrt[4]{2}=  \frac{p}{q} Gdzie p,q to liczby względnie pierwsze.
\sqrt[4]{2}=  \frac{p}{q} \\ 2= \frac{p^{4} }{q^{4} } \\ 2 q^{4}=p^{4}

Czyli:
2\mid p^{4}  \Rightarrow 2\mid p  \Rightarrow 4\mid  p^{2}  \Rightarrow  16\mid  p^{4}

I teraz, skoro 16/ p^{4} to 16\mid 2 q^{4} \Rightarrow 8\mid  q^{4}

No i w tym miejscu staje i nie wiem co mam dalej robić i zastanawiam się czy te wszystkie impliakcje pozwyżej są prawdziwe. Prosiłbym o wytlumaczenie jak to z tą podzielnością jest. I czy dobrze to robie.

Z góry dziękuje za pomoc!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2012, o 20:44 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17836
Lokalizacja: Cieszyn
A ja będę przekorny. Gdyby \sqrt[4]{2}\in\QQ, to \sqrt{2}\in\QQ (jako kwadrat), a wiadomo, że tak nie jest. Dowód bardzo klasyczny. I tak bym to robił ewentualnie powtarzając dowód niewymierności \sqrt{2}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2012, o 20:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
szw1710, no dobra, racja. Ale jęśli chciałbym skończyć moim sposobem. To jak to zrobić ? Czy implikacje są ok ? Jeśli tak, to jak w końcu pokazać sprzeczność czyli jak pokazać, że 2\mid q?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2012, o 20:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17836
Lokalizacja: Cieszyn
Za dużo kombinowania. Szkoda czasu. Ale jeśli chcesz to zrobić bezpośrednio, to naśladowałbym dowód niewymierności \sqrt{2} inaczej. Skoro \sqrt[4]{2}=\frac{p}{q}, to \sqrt{2}=\frac{p^2}{q^2} i dalej szedłbym tym tropem. Pokazałbyś, że q^2 jest parzyste, a co za tym idzie, także q musi być parzyste. A więc nieco inne podejście metodyczne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2012, o 21:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
No dobrze, a co gdybym mial \sqrt[3]{2} I jak to wtedy załatwić ?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 Udowodnic, ze liczba jest niewymierna  pYroMan  2
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 3  mint18  4
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl