szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2012, o 13:45 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Neverland
Skonstruuj bijekcje o podanej poniżej dziedzinie i przeciwdziedzinie.
Tutaj (a, b) oznacza przedział otwarty od a do b, natomiast [a, b) oznacza lewostronnie domknięty i prawostronnie otwarty przedział od a do b w zbiorze liczb rzeczywistych \mathbb{R}.

g: ((0, 1)  \times × (2, 3))  \rightarrow (0, 2)  \times  (5, 6)

Funkcja, którą skonstruowałem to: g(a, b) = (a \cdot 2, b+3)
Mam teraz dowieść, że ta funkcja jest bijekcją, czyli 1 - jest różnowartościowa, 2 - jest "na".

1. Funkcja g jest różnowartościowa. Żeby to udowodnić, pokażę następującą implikację:
\forall (a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2}) \in (0, 1) \times (2, 3) \quad (a_{1}, b_{1})  \neq  (a_{2}, b_{2})  \Rightarrow g(a_{1}, b_{1})  \neq  g(a_{2}, b_{2})

Dowód:
Weźmy dwie dowolne pary (a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2}), takie, że: (a_{1}, b_{1})  \neq  (a_{2}, b_{2}).
Wiemy, że pary są równe wtw. gdy: a_{1} = a_{2}  \wedge b_{1} = b_{2}, czyli różne są wtw. gdy: a_{1}  \neq a_{2}   \vee b_{1}  \neq  b_{2}, mamy zatem dwa przypadki.

1.1: a_{1}  \neq a_{2}
Chcę pokazać, że: g(a_{1}, b_{1})  \neq  g(a_{2}, b_{2}) przy powyższym założeniu.

Z definicji funkcji g mamy:
g(a_{1}, b_{1}) = (a_{1} \cdot 2, b_{1}+3)
g(a_{2}, b_{2}) = (a_{2} \cdot 2, b_{2}+3)

Sprawdzamy czy pary są różne:

(a_{1} \cdot 2, b_{1}+3)  \neq (a_{2} \cdot 2, b_{2}+3)

Zgodnie z definicją różności par dochodzimy do momentu gdzie musimy pokazać następującą alternatywę:
a_{1} \cdot 2  \neq a_{2} \cdot 2  \vee b_{1}+3  \neq b_{2}+3
Przekształcamy:
a_{1}  \neq a_{2}  \vee b_{1}  \neq b_{2}

O b_{1} i b_{2} nic nie wiemy, ale żeby dowieść alternatywy, wystarczy pokazać jeden z jej składników, korzystamy z naszego założenia, że: a_{1}  \neq a_{2} i właśnie udowodniliśmy pierwszy przypadek.

1.2: b_{1}  \neq b_{2}
Chcę pokazać, że: g(a_{1}, b_{1})  \neq  g(a_{2}, b_{2}) przy powyższym założeniu.

Z definicji funkcji g mamy:
g(a_{1}, b_{1}) = (a_{1} \cdot 2, b_{1}+3)
g(a_{2}, b_{2}) = (a_{2} \cdot 2, b_{2}+3)

Sprawdzamy czy pary są różne:

(a_{1} \cdot 2, b_{1}+3)  \neq (a_{2} \cdot 2, b_{2}+3)

Zgodnie z definicją różności par dochodzimy do momentu gdzie musimy pokazać następującą alternatywę:
a_{1} \cdot 2  \neq a_{2} \cdot 2  \vee b_{1}+3  \neq b_{2}+3
Przekształcamy:
a_{1}  \neq a_{2}  \vee b_{1}  \neq b_{2}

O a_{1} i a_{2} nic nie wiemy, ale żeby dowieść alternatywy, wystarczy pokazać jeden z jej składników, korzystamy z naszego założenia, że: b_{1}  \neq b_{2} i właśnie udowodniliśmy drugi przypadek, czyli funkcja g jest różnowartościowa.

Czy mój dowód jest poprawny? Jak pokazać, że g jest "na"?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2012, o 23:32 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Poprawny (poza stwierdzeniem "Sprawdzamy czy pary są różne:" - nie stwierdzamy, czy tylko zakładamy, że), ale bardzo nieefektywny. Dużo prościej było pokazać, że

g(a_1,b_1)=g(a_2,b_2) \Rightarrow (a_1,b_1)=(a_2,b_2).

By pokazać, że funkcja jest "na" ustalasz dowolną parę z przeciwdziedziny i wskazujesz parę z dziedziny, która na nią przejdzie.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2012, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Neverland
Jan Kraszewski napisał(a):
Poprawny (poza stwierdzeniem "Sprawdzamy czy pary są różne:" - nie stwierdzamy, czy tylko zakładamy, że)


Nie bardzo rozumiem o co chodzi w tej linijce.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2012, o 00:39 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Chodzi o to, że (między innymi) tutaj napisałeś nieprawdę (być może była to kwestia niezręcznego wyrażenia się):
darksome napisał(a):
Sprawdzamy czy pary są różne:
(a_{1} \cdot 2, b_{1}+3)  \neq (a_{2} \cdot 2, b_{2}+3)

Ty tutaj nic nie sprawdzasz, Ty to zakładasz - to bardzo istotna różnica.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2012, o 11:09 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Neverland
Dlaczego mam zakładać, że pary są różne skoro ja chcę to pokazać? Nie bardzo rozumiem. Właściwie to zamiast znaku różności użyłbym tam znaku różności z pytajnikiem u góry, ale nie znalazłem takiego znaku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2012, o 14:10 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
darksome napisał(a):
Dlaczego mam zakładać, że pary są różne skoro ja chcę to pokazać?

Jeżeli tak uważasz, to znaczy, że zupełnie nie rozumiesz, o co chodzi w tym dowodzie.

Skoro chcesz pokazać prawdziwość implikacji

(a_1,b_1)\neq(a_2,b_2) \Rightarrow g(a_1,b_1)\neq g(a_2,b_2)

to różność par (a_1,b_1)\neq(a_2,b_2) jest założeniem!

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2012, o 18:49 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Neverland
Owszem, to co jest po lewej stronie implikacji jest założeniem, ale tam gdzie piszę, że Sprawdzamy czy pary są różne: to jest rozpisana prawa strona implikacji z definicji funkcji g.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2012, o 19:19 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
No tak, typowy przykład "widzę to, co chcę widzieć".

Przepraszam, masz rację. Dowód jest poprawny, pozostaje uwaga o nieefektywności.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 gru 2012, o 19:46 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Neverland
Dowód 2, czyli, że funkcja g jest "na".

Chcę, pokazać, że \forall (a,b) \in (0, 2) \times (5, 6) \quad \exists (x,y) \in (0, 1) \times (2, 3)  \quad g(x,y) = (a,b)

Weźmy zatem dowolną parę (a,b) \in (0, 2) \times (5, 6). Chcemy znaleźć dla niej taką, parę (x,y) \in (0, 1) \times (2, 3), że g(x,y) = (a,b).
Z definicji funkcji g wiemy, że: g(x, y) będzie postaci (x \cdot 2, y+3).
Wyliczmy więc x i y:

(x \cdot 2, y+3) = (a,b)

x \cdot 2 = a\\
y+3 = b
Przekształcamy:

x =  \frac{a}{2}\\
y = b-3

Znaleźliśmy więc parę, spełniającą równość, którą mieliśmy pokazać.
Szukana para to: \left( \frac{a}{2}, b-3 \right)

Dobrze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 gru 2012, o 21:08 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Dobrze.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kiedy potrzebne jest wyznaczanie dziedziny ?  mateo19851  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Dowód na tw. Fermata  Mbach  2
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl