szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2012, o 18:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie x \in R odległość punktu x od najbliższego punktu o współrzędnej całkowitej. Liczba rozwiązań równania f(x)=\frac{1}{2012}x wynosi... ?

Mógłby ktoś napisać mi o co tutaj chodzi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2012, o 18:31 
Moderator

Posty: 3012
Lokalizacja: Starachowice
Cytuj:
Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie x \in R odległość punktu x od najbliższego punktu o współrzędnej całkowitej.


To będzie taka "piła" albo "korona" o maksymalnych wartościach równych 0.5 dla x=-4.5, \ -3.5, \ -2.5, \ ..., \ 0.5, \ 1.5 itd. i wartościach minimalnych 0 dla iksów całkowitych.

Stawiam na to, że w tym zadaniu trzeba policzyć, ile punktów wspólnych będzie miał wykres takiej funkcji z wykresem podanej liniowej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2012, o 18:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
W sumie, to nadal nie kumam.

Skąd znasz te wartości maksymalne i minimalne i skąd te punkty?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2012, o 19:07 
Moderator

Posty: 3012
Lokalizacja: Starachowice
Cytuj:
Skąd znasz te wartości maksymalne i minimalne i skąd te punkty?


Odległość nie może być ujemna, tak?
Najmniejsza odległość jest więc równa zero, zgadza się? Np. jak weźmiesz x całkowity z osi liczbowej, to odległość takiego iksa od najbliższej całkowitej na osi jest równa zero.

A np. odległość punktu x=1.4 od najbliższych całkowitych (1 i 2) to odpowiednio 0.4 i 0.6. Zatem do najbliższego punktu całkowitego jest 0.4. Jak weźmiesz punkt leżący dokładnie pośrodku całkowitych (np. 3.5 jest między 3 a 4), to odległość będzie równa 0.5 - stąd ta największa wartość funkcji.

f(x) masz załatwione, zaś to \frac{1}{2012}x to jest już inna funkcja.

Liczbę rozwiązań wyznaczysz, "licząc" punkty przecięcia obu wykresów. Ale dużo tego będzie - więc zastanów się kiedy (dla jakich iksów) funkcja liniowa \frac{1}{2012}x będzie przyjmowała wartości z przedziału \left\langle 0; \ 0.5\right\rangle.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2012, o 19:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
Dobra już wiem o co chodzi, dzięki wielkie ;]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2012, o 19:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Można zauważyć, że f(x) = \frac{1-|2\lbrace x\rbrace -1|}{2} (udowodnij), czyli mamy wyznaczyć wszystkie rzeczywiste x dla których:

\frac{1-|2\lbrace x\rbrace -1|}{2} = \frac{x}{2012} \iff 1006-1006|2\lbrace x\rbrace -1| = x

Rozpatrzmy pierwszy przypadek, 1 > \lbrace x\rbrace \ge \frac{1}{2}, podstawmy x=a+b \ , \ a \in \mathbb{Z} \ \wedge \ 1 > b \ge \frac{1}{2}, wówczas równanie przyjmuje postać:

1006-1006(2b-1) = a+b \iff b = \frac{2012-a}{2013}, czyli ma zachodzić:

\frac{1}{2} \le \frac{2012-a}{2013} < 1/\cdot 2013 \iff 1006.5 \le 2012-a \le 2013 \iff \\ \\ \iff  -1005.5 \le -a < 1 \iff 1005.5 \ge a > -1

Ale a \in \mathbb{Z} czyli 1005 \ge a \ge 0, co nam daje 1006 rozwiązań.

Analogicznie przypadek 0 \le \lbrace x \rbrace < \frac{1}{2} daje nam 1006 rozwiązań, stąd liczba rozwiązań danego równania wynosi 2012.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl