szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2007, o 21:26 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Ostatnio dorwałem takie jedno w miarę proste zadanie:

Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi:
120|(a^{5}-5a^{3}+4a).
Jak poprzekształca sie to wyrażenie do postaci wielomianu to podzielność przez 3 i 4 jest oczywista. Jak natomiast zrobić podzielność przez 10? Moim jedynym pomysłem do tej pory było sprawdzić podzielność przez 10 dla wszystkich przypadków:
a=10k, a= 10k+1, ... , a=10k+9, ale jest to pracochłonne i, co tu kryć, mocno lamerskie. Aha, jeśli mógłbym poprosić, to byłbym wdzięczny za rozwiązanie nieindukcyjne (indukcją wychodzą nieprzyjemne rachunki). Z góry dziękuję :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2007, o 21:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 620
Lokalizacja: Kęty
a^5 -5a^3 +4a = a(a^6 -5a^2 +4) = a(a^2-1)(a^2-4)=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)

iloczyn 5 kolejnych liczb dzieli się przez 5, 4, 3, 2 czyli przez 120
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2007, o 21:53 
Użytkownik

Posty: 63
Lokalizacja: Kraków
rozkladamy wyrazenie:
n^{5}-5n^{3}+4n=\\ 
=n(n^{4}-5n^{2}+4)=\\ 
=n(n^{4}-n^{2}-4n^{2}+4)=\\
=n(n^{2}(n^{2}-1)-4(n^2-1))= \\
=n(n^{2}-4)(n^{2}-1)=\\
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
iloczyn n kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez n! czyli mamy iloczyn 5 kolejnych liczby czyli 5!=120 cnd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2007, o 22:16 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Hehe, dzięki chłopaki, to było naprawdę proste. Daję Wam obu pomógł :razz:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciekawa podzielność - zadanie 2  mol_ksiazkowy  2
 Wykazać podzielność liczb naturalnych  kluczyk  3
 Podzielność, nierówność  rah2  4
 Podzielność przez 5 - zadanie 8  rafal20  6
 Udowodnij ... (podzielność)  k1jek  14
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl