szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 11:29 
Użytkownik

Posty: 175
Lokalizacja: Kalisz
Przepraszam że zawracam głowę ostatnie pytanie :/
Napisać równanie ogólne płaszczyzny \pi mając dane
\pi zawiera prostą \left\{\begin{array}{l} x=4t-1\\y=-3t-1\\z=t\end{array}\right.
i jej równoległej do prostej \left\{\begin{array}{l} x=4t-2\\y=3t+3\\z=2t\end{array}\right.

Jak zrobić, tak trudne zadanie z parametrami, pomógłby mi ktoś z tym zadaniem
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 12:37 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Skoro płaszczyzna ma być równoległa do prostej
\left\{\begin{array}{l} x=4t-2\\y=3t+3\\z=2t\end{array}\right.
to wektor kierunkowy prostej będzie jednym z wektorów leżących w tej płaszczyźnie. Mamy więc wektor \vec{u}=[4,3,2] leżący w płaszczyźnie.
Drugi wektor znajdziemy wyznaczając dwa punkty z pierwszej prostej, leżącej w płaszczyźnie.
Wybieramy dwie dowolne wartości t i dostajemy:
dla t=0 mamy punkt P(-1,-1,0)
dla t=1 mamy punkt Q(3,-4,1)
Znajdujemy wektor \vec{v}=\vec{PQ}=[4,-3,1], który leży w płaszczyźnie.
Iloczyn wektorowy
\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=[9,4,-24]
który jest prostopadły do szukanej płaszczyzny, a zatem jest jej wektorem normalnym. Dlatego równanie szukanej płaszczyzny ma postać
9x+4y-24z+D=0
Podstawiamy współrzędne np. punktu P i dostajemy
-9-4+D=0
skąd D=13 i szukane równanie ma postać
9x+4y-24z+13=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 12:38 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Poszukujemy równania płaszczyzny \pi postaci Ax+By+Cz+D=0 dla pewnych A,B,C,D\in\RR, A^2+B^2+C^2>0.
Skoro płaszczyzna \pi zawiera pierwszą prostą, to równanie A(4t-1)+B(-3t-1)+Ct+D=0 z niewiadomą t ma nieskończenie wiele rozwiązań. Mamy jednak 0=A(4t-1)+B(-3t-1)+Ct+D=(4A-3B+C)t+(-A-B+D). Zatem na podstawie równości wielomianów dostajemy \begin{cases} 4A-3B+C=0 \\ -A-B+D=0\end{cases}.
Ponieważ płaszczyzna \pi jest równoległa do drugiej prostej, to równanie A(4t-2)+B(3t+3)+2Ct+D=0 z niewiadomą t nie posiada rozwiązań. Mamy 0=A(4t-2)+B(3t+3)+2Ct+D=(4A+3B+2C)t+(-2A+3B+D), więc 4A+3B+2C=0 oraz -2A+3B+D\ne 0.

Możemy zatem rozważyć (i rozwiązać) wpierw układ równań
\begin{cases} 4A-3B+C=0 \\ -A-B+D=0 \\ 4A+3B+2C=0 \end{cases},
sprawdzając później, czy spełniona jest też zależność -2A+3B+D\ne 0.

Co więcej, wystarczy rozważyć przypadki A=0, A=1 (gdyby w równaniu płaszczyzny było A\ne 0, A\ne 1, można by podzielić je stronami przez A, otrzymując nowe równanie opisujące wszak tę samą płaszczyznę).
Zauważ jednak, że przypadek A=0 prowadzi do równości B=C=0, a to jest sprzeczne z określeniem współczynników równania płaszczyzny.
Zatem musi być A=1. Wyznacz teraz pozostałe niewiadome B,C,D z powyższego układu równań i sprawdź, czy zachodzi warunek -2+3B+D\ne 0.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty  mnk  1
 Równanie kllepsydry.  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl