szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 22:21 
Użytkownik

Posty: 308
Lokalizacja: warszawa
Witam,
proszę o rozwiązanie tego zadania i wytłumaczenie co i jak:
Okrąg jest styczny do obu osi układu współrzędnych i przechodzi przez punkt A = (-2, -9)
a) wyznacz równanie tego okręgu
b) wyznacz cosinus kąta ASB, gdzie S jest środkiem okręgu, zaś B jest punktem styczności okręgu z osią OY w przypadku mniejszego okręgu spełniającego warunki zadania
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 22:54 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Niech promień szukanego okręgu wynosi r. Ponieważ ma być styczny do obu osi układu współrzędnych i przechodzić przez punkt leżący w trzeciej ćwiartce, to współrzędne środka muszą być równe (-r,-r). A zatem jego równanie będzie miało postać
(x+r)^2+(y+r)^2=r^2
Okrąg ma przechodzić przez punkt A, zatem podstawiamy współrzędne punktu i otrzymujemy
(-2+r)^2+(-9+r)^2=r^2
4-4r+r^2+81-18r+r^2=r^2
r^2-22r+85=0
\Delta=484-340=144
r_1=\frac{22-12}{2}=5\ r_2=\frac{22+12}{2}=17
Mamy zatem dwa takie okręgi
(x+5)^2+(y+5)^2=25 i (x+17)^2+(y+17)^2=289

Punkt styczności mniejszego okręgu z osią Oy ma współrzędne B=(0,-5).
Obliczamy współrzędne wektorów
\vec{SA}=[3,-4],\ \vec{SB}=[5,0]
Obliczamy iloczyn skalarny
\vec{SA}\circ\vec{SB}=3\cdot5+(-4)\cdot0=15
i długości obu wektorów
|\vec{SA}|=\sqrt{9+16}=5,\ |\vec{SB}|=\sqrt{25+0}=5
i ze wzoru
\cos\angle(\vec{SA},\vec{SB})=\frac{15}{5\cdot5}=\frac{15}{25}=\frac35
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 22:58 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Bielsko
chris_f napisał(a):
Niech promień szukanego okręgu wynosi r. Ponieważ ma być styczny do obu osi układu współrzędnych i przechodzić przez punkt leżący w trzeciej ćwiartce, to współrzędne środka muszą być równe (-r,-r). A zatem jego równanie będzie miało postać
(x+r)^2+(y+r)^2=r^2
Okrąg ma przechodzić przez punkt A, zatem podstawiamy współrzędne punktu i otrzymujemy
(-2+r)^2+(-9+r)^2=r^2
4-4r+r^2+81-18r+r^2=r^2
r^2-22r+85=0
\Delta=484-340=144
r_1=\frac{22-12}{2}=5\ r_2=\frac{22+12}{2}=17
Mamy zatem dwa takie okręgi
(x+5)^2+(y+5)^2=25 i (x+17)^2+(y+17)^2=289

Punkt styczności mniejszego okręgu z osią Oy ma współrzędne B=(0,-5).
Obliczamy współrzędne wektorów
\vec{SA}=[3,-4],\ \vec{SB}=[5,0]
Obliczamy iloczyn skalarny
\vec{SA}\circ\vec{SB}=3\cdot5+(-4)\cdot0=15
i długości obu wektorów
|\vec{SA}|=\sqrt{9+16}=5,\ |\vec{SB}|=\sqrt{25+0}=5
i ze wzoru
\cos\angle(\vec{SA},\vec{SB})=\frac{15}{5\cdot5}=\frac{15}{25}=\frac35
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 23:12 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
@johnbydle Nie bardzo rozumiem, o co Ci chodzi? Zacytowałeś mój post, i ???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2012, o 21:34 
Użytkownik

Posty: 308
Lokalizacja: warszawa
chris_f, co daje ten iloczyn skalarny, po co on jest?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2012, o 22:47 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Aby obliczyć cosinus kąta pomiędzy wektorami, trzeba skorzystać z jakiegoś wzoru. Punktem wyjścia jest wzór na iloczyn skalarny dwóch wektorów:
\vec{u}\circ\vec{v}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\angle(\vec{a},\vec{b}).
Z tej definicji iloczynu skalarnego wyprowadza się wzór na cosinus kąta między wektorami
\cos\angle(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
Ale w geometrii analitycznej iloczyn skalarny dwóch wektorów \vec{a}=[a_1,a_2],\ \vec{b}=[b_1,b_2] wynosi
\vec{a}\circ\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2.
No i stąd wszystkie te rachunki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 styczność okręgu  madziula1784  1
 Napisz równanie okręgu - zadanie 10  marysiam5  3
 Napisz równnie stycznych do okręgu o równaniu  plancys  6
 Równanie okregu przechodzącego przez punkt  paka1234  1
 Równanie prostych wyznaczających cięciwy okręgu  tobix10  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl