szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 22:24 
Użytkownik

Posty: 308
Lokalizacja: warszawa
Witam,
proszę o rozwiązanie tego zadania i wytłumaczenie co i jak:
Dane są punkty A = (2,0), B = (1,2), C = (2,4)
a) wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC
b) wyznacz równanie okręgu symetrycznego do danego okręgu względem prostej l: [tex]y = \frac{1}{2}x - 3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 22:58 
Użytkownik

Posty: 22720
Lokalizacja: piaski
Środek leży na prostej y=2 w takiej samej odległości od danych punktów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 23:11 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Niech szukany okrąg ma równanie (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Okrąg ma przechodzić przez punkty A,B,C dlatego
\left\{\begin{array}{l}
(2-a)^2+(0-b)^2=r^2\\
(1-a)^2+(2-b)^2=r^2\\
(2-a)^2+(4-b)^2=r^2\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{l}
4-4a+a^2+b^2=r^2\\
1-2a+a^2+4-4b+b^2=r^2\\
4-4a+a^2+16-8b+b^2=r^2\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{l}
1-2a+a^2+4-4b+b^2=4-4a+a^2+b^2\\
4-4a+a^2+16-8b+b^2=4-4a+a^2+b^2\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l}
1+2a-4b=0\\
16-8b=0\Rightarrow b=2\end{array}\right.
2a=7\Rightarrow a=\frac72
4-4\cdot\frac72+\frac{49}{4}+4=r^2
-6+\frac{49}{4}=r^2
r^2=\frac{25}{4}
Równanie okręgu
\left(x-\frac72\right)^2+\left(y-2\right)^2=\frac{25}{4}

Można to było zrobić jeszcze na kilka innych sposobów, ten jest pracochłonny, ale zawsze skuteczny, nie zawsze daje się "coś tam" ładnie zauważyć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2012, o 21:39 
Użytkownik

Posty: 308
Lokalizacja: warszawa
jeszcze pytanko odnośnie podpunktu b) wyznacz równanie okręgu symetrycznego do danego okręgu względem prostej l: y = \frac{1}{2}x - 3 jak mam to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2012, o 23:17 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Aby znaleźć równanie okręgu symetrycznego względem jakiejś prostej, wystarczy znaleźć środek tego okręgu (bo promień musi pozostać taki sam). A zatem problem sprowadza się do znalezienia obrazu środka \left(\frac72,2\right) w symetrii względem danej prostej y=\frac12x-3.
Można to zrobić na wiele sposobów, zrobię to po swojemu.
Najpierw znajdę równanie prostej prostopadłej do danej przechodzącej przez środek okręgu. Jej współczynnik kierunkowy musi spełniać warunek a\cdot\frac12=-1 skąd mamy a=-2. Skoro ta prosta ma przechodzić przez środek, to podstawiamy współrzędne środka do równania prostej i dostajemy
2=-2\cdot\frac72+b
b=9
czyli szukana prosta ma równanie y=-2x+9.
Punkt przecięcia się tej prostej i danej wyznaczymy z układu równań
\left\{\begin{array}{l}y=-2x+9\\y=\frac12x-3\end{array}\right.
-2x+9=\frac12x+3
-\frac52x=-6
p=
[tex]x=\frac{12}{5}
no i dalej y=-2\cdot\frac{12}{5}+9=\frac{21}5
No i teraz niech szukany środek ma współrzędne (p,q). Wtedy znaleziony punkt przecięcia jest środkiem odcinka pomiędzy środkami okręgów, a zatem
\frac{\frac72+p}{2}=\frac{12}{5},\ \frac{2+q}{2}=\frac{21}{5}
Stąd wyliczamy
p=\frac{24}{5}-\frac72,\ q=\frac{42}{5}-2
p=-\frac{22}{10}\, q=\frac{32}{5}
No i teraz piszemy równanie okręgu.

PS. Sprawdź rachunki, bo wszystko liczyłem w pamięci, więc łatwo o pomyłkę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie okregu  Anonymous  1
 Równanie okręgu  Tys  2
 Równanie okręgu - zadanie 2  nice88  1
 rownanie okregu  tomekbobek  1
 równanie okręgu - zadanie 3  toma8888  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl