szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 23:08 
Użytkownik

Posty: 245
Lokalizacja: Krakow
Wykaż że w dowolnym trójkącie stosunek długości długości sumy kwadratów jego środkowych do sumy kwadratów długości jego boków wynosi \frac{3}{4}

Nie wiem zupełnie jak powiązać długości boków z długościami środkowych. Czy da się tu jakoś wykorzystać twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta ?

Proszę o pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 23:13 
Użytkownik

Posty: 22449
Lokalizacja: piaski
Istnieje zależność (wzór) na długość środkowej w zależności od boków.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 245
Lokalizacja: Krakow
no tak faktycznie, ale kupa z tym liczenia :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 23:23 
Użytkownik

Posty: 3557
Lokalizacja: Wrocław
Dla trójkąta:

\begin{cases}a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\\b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\\c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\\end{cases}\\\\
a^2+b^2+c^2=2a^2+2b^2+2c^2-2bc\cos\alpha-2ac\cos\beta-2ab\cos\gamma\\\\
bc\cos\alpha+ac\cos\beta+ab\cos\gamma=\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)

Dla środkowych:

\begin{cases}s_b^2=\frac{1}{4}b^2+c^2-bc\cos\alpha\\s_c^2=a^2+\frac{1}{4}c^2-ac\cos\beta\\s_a^2=\frac{1}{4}a^2+b^2-ab\cos\gamma\end{cases}\\\\
s_a^2+s_b^2+s_c^2=\frac{5}{4}(a^2+b^2+c^2)-(bc\cos\alpha+ac\cos\beta+ab\cos\gamma)=\\\\
=\frac{5}{4}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 23:27 
Użytkownik

Posty: 245
Lokalizacja: Krakow
O, ten wzór przynajmniej znam, wielkie dzięki! :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2012, o 23:33 
Użytkownik

Posty: 22449
Lokalizacja: piaski
Z tego co podałem jest od razu.

Suma kwadratów to 0,75(a^2+b^2+c^2)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  12
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 Przy jakiej długości boków trójkąta obwód jest najm  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl