szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 gru 2012, o 17:53 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Choszczno
1. Przez pkt. A(2,-1,1) poprowadź płaszczyznę prostopadłą do
płaszczyzn 2x-z+1=0 \ \ y=0
2. Przedstaw płaszczyzny w postaci parametrycznej 6x+2y-z-9=0 \ \ 3x+2y+2z-12=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2012, o 23:46 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Polska
1) Równanie ogólne płaszczyzny to Ax+By+Cz+D=0 i wtedy wektor n=[A \ B \ C] jest wektorem prostopadłym do niej. W tym zadaniu trzeba znaleźć równanie płaszczyzny, której wektor normalny n=[A \ B \ C] jest prostopadły do wektorów normalnych dwóch danych płaszczyzn, tj. n_{1}=[2 \ 0 \ -1] \ n_{2}=[0 \ 1 \ 0]. Warunkiem prostopadłości tych wektorów jest zerowanie się ich iloczynu skalarnego, z czego dostajemy układ dwóch równań na elementy wektora n:

n \cdot n_{1} = A \cdot 2 +B \cdot 0 + C \cdot (-1) = 2A-C = 0  \Rightarrow C=2A \\
n \cdot n_{2} = A \cdot 0 + B\cdot 1 + C \cdot 0 = 0  \Rightarrow B=0

Stąd dostajemy współrzędne wektora n wyrażone przez parametr A: n=[A \ 0 \ 2A]

Trzecie równanie dostajemy podstawiając współrzędne punktu (2,-1,1) do równania ogólnego szukanej płaszczyzny i wykorzystując otrzymane wcześniej zależności pomiędzy współrzędnymi wektora n:

2A-B+C+D=0  \Rightarrow  D = -4A

Teraz podstawiamy współrzędne tego wektora do równania płaszczyzny przechodzącej przez punkt (2,-1,1) i dostajemy:

A(x-2)+0(y-1)+2A(z-1)-4A=0  \Rightarrow x-2+2z-2-4=0  \Leftrightarrow  x+2z-8=0

2) Równanie parametryczne płaszczyzny ma postać:

\begin{cases} 
x=x_{0}+at
\\ 
y=y_{0}+bt
\\
z=z_{0}+ct
\end{cases}

gdzie punkt (x_{0},y_{0},z_{0}) jest dowolnym punktem należącym do tej płaszczyzny. Weźmy płaszczyznę o równaniu 6x+2y-z-9=0. Nietrudno sprawdzić, że na przykład punkt (1,1,-1) należy do tej płaszczyzny. Teraz trzeba jeszcze znaleźć nieznane współczynniki a,b,c jej równania parametrycznego. Robimy to podstawiając współrzędne tego równania do równania ogólnego tej płaszczyzny i wtedy dostajemy:

6+6at+2+2bt+1-ct-9=6at+2bt-ct=t(6a+2b-c)=0  \Rightarrow 6a+2b-c=0

Mając warunek na nieznane parametry a,b,c dobieramy je dowolne tak, aby go spełniały. Weźmy więc na przykład a=1, b=-2, c=2. Ostatecznie równanie parametryczne tej płaszczyzny ma postać:

\begin{cases} 
x=1+t
\\ 
y=1-2t
\\
z=1+2t
\end{cases}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równania płaszczyzny  invx  9
 Równania płaszczyzny - zadanie 2  Cziki  1
 Równania płaszczyzny - zadanie 3  hubi201  0
 równania płaszczyzny - zadanie 4  kfc  4
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl