szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2012, o 20:05 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Podlaskie
Prosil bym o pomoc w rozwiazaniu zadan i wytlumaczenie:
a)2 ^{n} > n dla n \ge 1
b)n! \le  \frac{n+1}{2} ^{2}dla n \ge 1
Ad.a) Sprawdziełem, że nierownosc jest prawdziwa dla n=1
dla n+1 2 ^{n+1} > n+1
i nie wiem jak dalej poprowadzic dowód, w punkcie b tak samo,
liczę wieęc na Waszą pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2012, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Założenie indukcyjne: 2^n>n
Teza indukcyjna: 2^{n+1}>n+1
Wychodzimy od lewej strony tezy indukcyjnej
L=2^{n+1}=2^n\cdot2\stackrel{Z_i}{>}n\cdot 2=2n=n+n\gen+1=P
W drugim podpunkcie podobnie (ale nie znaczy to, że tak samo) - pomyśl trochę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2012, o 20:19 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Podlaskie
ok ale nie wiem czemu z zalorzenia wiząles n \cdot 2
Móglbys mi to wyjasnic??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2012, o 22:41 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Wychodząc od lewej doszedłem do sytuacji 2^n\cdot 2. Ale w założeniu indukcyjnym miałem, że 2^n>n. A zatem w tym iloczynie 2^n\cdot 2 zastąpiłem 2^n czymś mniejszym, dokładniej mówiąc n. Stąd nad tym znakiem nierówności pojawił się zapis, że to z założenia indukcyjnego, a dalej n\cdot2 czyli 2n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2012, o 23:08 
Korepetytor

Posty: 1831
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Nie wiem, jak interpretować podpunkt b), ale wychodzi mniej więcej tak:

\frac{n+1}{2} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{1+2+ \ldots + n}{n} \ge \sqrt[n]{n!}

Czyli \left(\frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!.

W innych przypadkach raczej nierówność się nie trzyma.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazać indukcyjnie prawdziwość nierówności.  Wolfik  5
 Dowód dwóch nierówności  Chewbacca97  1
 Dowód nierówności, iloraz silni i potęga  olussskaaa  1
 Nierówności - indukcja  menrva  1
 Udowodnienie nierówności - zadanie 7  karpadros  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl